Question

假设 $0 \lt r \lt 3$ 。下面是五个关于 $x$ 的方程。哪个方程的解 $x$ 最大？

Assume $0 \lt r \lt 3.$ Below are five equations for $x.$ Which equation has the largest solution $x?$

$3(1 + r)^x = 7$

$3(1 + r/10)^x = 7$

$3(1 + 2r)^x = 7$

$3(1 + \sqrt{r})^x = 7$

$3(1 + 1/r)^x = 7$

答案：B

知识点：对数不等式

难度评级：1710

解答：

每个方程都给出 $x = \dfrac{\log(7/3)}{\log(1 + f(r))},$ 所以正数 $f(r)$ 越小，解越大。

当 $0 \lt r \lt 3,$ 时， $\dfrac r{10}\lt r\lt2r$ ，并且因为 $r\lt100.$ 有 $\dfrac r{10}\lt\sqrt r$ 。又因为 $r^2\lt9\lt10,$ 所以 $\dfrac r{10}\lt\dfrac1r.$ 因此五个量中 $r/10$ 最小，方程 (B) 的解最大。

所以正确答案是 B。

Each equation gives $x = \dfrac{\log(7/3)}{\log(1 + f(r))},$ which is largest when the positive quantity $f(r)$ is smallest.

For $0 \lt r \lt 3,$ we have $\dfrac r{10}\lt r\lt2r$ and $\dfrac r{10}\lt\sqrt r$ because $r\lt100.$ Also $r^2\lt9\lt10,$ so $\dfrac r{10}\lt\dfrac1r.$ Thus $r/10$ is the smallest of the five quantities, and equation (B) has the largest solution.

Thus, the correct answer is B.

2009 AMC 12B 第 15 题

答案：B

难度评级：1710

解答：

其他年份的第 15 题