2008 AMC 12B 第 13 题

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13.

等边三角形

\triangle ABE

的顶点

E

在单位正方形

ABCD

的内部。令

R

为所有位于

ABCD

内部、

\triangle ABE

外部，且到

\overline{AD}

的距离介于

\tfrac{1}{3}

和

\tfrac{2}{3}

之间的点组成的区域。

R

的面积是多少？

Vertex

E

of equilateral

\triangle ABE

is in the interior of unit square

ABCD.

Let

R

be the region consisting of all points inside

ABCD

and outside

\triangle ABE

whose distance from

\overline{AD}

is between

\tfrac{1}{3}

and

\tfrac{2}{3}.

What is the area of

R?

\dfrac{12 - 5\sqrt{3}}{72}

\dfrac{12 - 5\sqrt{3}}{36}

\dfrac{\sqrt{3}}{18}

\dfrac{3 - \sqrt{3}}{9}

\dfrac{\sqrt{3}}{12}

答案：B

知识点：坐标几何等边三角形微积分

难度评级：1730

小提示：

把

\overline{AD}

看作正方形的一条边；“到

\overline{AD}

的距离在

\tfrac13

和

\tfrac23

之间”是一个宽

\tfrac13

、面积

\tfrac13

的竖直条带。

Take

\overline{AD}

as a side of the square; “distance from

\overline{AD}

between

\tfrac13

and

\tfrac23

” is a vertical strip of width

\tfrac13

and area

\tfrac13

大提示：

从该条带面积

\tfrac13

中减去条带内落在

\triangle ABE

内部的部分。

From that strip’s area

\tfrac13,

subtract the part of the strip that lies inside

\triangle ABE

解答：

令

A = (0,0)

、

B = (1,0)

、

C = (1,1)

、

D = (0,1)

，则

\overline{AD}

在

y

轴上，到

\overline{AD}

的距离就是

x

坐标。区域位于条带

\tfrac13 \le x \le \tfrac23

中，该条带在正方形内的面积为

\tfrac13

。

等边三角形

\triangle ABE

有

E = \left(\tfrac12, \tfrac{\sqrt3}{2}\right)

，边

AE

在

y = \sqrt3\,x

上，边

BE

在

y = \sqrt3(1 - x)

上。三角形在条带内的面积为

\begin{aligned} &\int_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}} \sqrt3\,x\,dx \\ &\quad {}+ \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{2}{3}} \sqrt3(1 - x)\,dx \\ &= 2\int_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}}\sqrt3\,x\,dx \\ &= \frac{5\sqrt3}{36} \end{aligned}\text{。}

因此

[R] = \frac13 - \frac{5\sqrt3}{36} = \frac{12 - 5\sqrt3}{36}\text{。}

因此，正确答案是 B。

Place

A = (0,0),

B = (1,0),

C = (1,1),

D = (0,1),

so

\overline{AD}

lies along the

y

-axis and distance from

\overline{AD}

is the

x

-coordinate. The region lies in the strip

\tfrac13 \le x \le \tfrac23,

which within the square has area

\tfrac13.

Equilateral

\triangle ABE

has

E = \left(\tfrac12, \tfrac{\sqrt3}{2}\right),

with side

AE

on

y = \sqrt3\,x

and side

BE

on

y = \sqrt3(1 - x).

The area of the triangle inside the strip is

\begin{aligned} &\int_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}} \sqrt3\,x\,dx \\ &\quad {}+ \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{2}{3}} \sqrt3(1 - x)\,dx \\ &= 2\int_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}}\sqrt3\,x\,dx \\ &= \frac{5\sqrt3}{36}. \end{aligned}

Therefore

[R] = \frac13 - \frac{5\sqrt3}{36} = \frac{12 - 5\sqrt3}{36}.

Thus, the correct answer is B.

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