2006 AMC 12A 第 10 题

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10.

有多少个实数

x

使得

\sqrt{120 - \sqrt{x}}

是整数？

For how many real values of

x

is

\sqrt{120 - \sqrt{x}}

an integer?

3

6

9

10

11

答案：E

知识点：根式区间内整数计数

难度评级：1490

小提示：

令

\sqrt{120 - \sqrt{x}} = k

，其中

k

为非负整数。

Set

\sqrt{120 - \sqrt{x}} = k

for a nonnegative integer

k

大提示：

需要

k^2 \le 120

，且每个有效的

k

给出不同的

x = (120 - k^2)^2

。

Need

k^2 \le 120,

and each valid

k

gives a distinct

x = (120 - k^2)^2

解答：

令

k = \sqrt{120 - \sqrt{x}}

为整数。那么

k \ge 0

，且

k^2 = 120 - \sqrt{x} \le 120

，所以

0 \le k \le 10

。

每个这样的

k

都给出

\sqrt{x} = 120 - k^2 \ge 0

，因而给出不同的

x = (120 - k^2)^2

。共有

11

个值。

因此，正确答案是 E。

Let

k = \sqrt{120 - \sqrt{x}}

be an integer. Then

k \ge 0

and

k^2 = 120 - \sqrt{x} \le 120,

so

0 \le k \le 10.

Each such

k

gives

\sqrt{x} = 120 - k^2 \ge 0,

hence a distinct value

x = (120 - k^2)^2.

That is

11

values.

Thus, the correct answer is E.

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