2004 AMC 12B 第 13 题

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13.

若

f(x) = ax + b

，且

f^{-1}(x) = bx + a

，其中

a

和

b

为实数，则

a + b

的值是多少？

If

f(x) = ax + b

and

f^{-1}(x) = bx + a

with

a

and

b

real, what is the value of

a + b?

-2

-1

0

1

2

答案：A

知识点：函数方程组

难度评级：1580

小提示：

使用

f(f^{-1}(x)) = x

。

Use

f(f^{-1}(x)) = x

大提示：

展开

a(bx + a) + b = x

，得到

ab = 1

和

a^2 + b = 0

。

Expanding

a(bx + a) + b = x

gives

ab = 1

and

a^2 + b = 0

解答：

因为

f(f^{-1}(x)) = x

，所以

a(bx + a) + b = x

。比较系数得

ab = 1

和

a^2 + b = 0

。于是

b = \frac{1}{a}

，且

a^2 + \frac{1}{a} = 0

，所以

a^3 = -1

得到

a = -1

、

b = -1

。因此

a + b = -2

。

因此正确答案是 A。

Since

f(f^{-1}(x)) = x,

we have

a(bx + a) + b = x.

Matching terms gives

ab = 1

and

a^2 + b = 0.

Then

b = \frac{1}{a}

and

a^2 + \frac{1}{a} = 0,

so

a^3 = -1,

giving

a = -1

and

b = -1.

Thus

a + b = -2.

Thus, the correct answer is A.

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