2004 AMC 12B 第 10 题

Question

圆环是两个同心圆之间的区域。图中的同心圆半径分别为

b

和

c

，其中

b \gt c

。令

\overline{OX}

为大圆的一条半径，

\overline{XZ}

在

Z

处与小圆相切，

\overline{OY}

是经过

Z

的大圆半径。令

a = XZ

、

d = YZ

、

e = XY

。这个圆环的面积是多少？

An annulus is the region between two concentric circles. The concentric circles in the figure have radii

b

and

c,

with

b \gt c.

Let

\overline{OX}

be a radius of the larger circle, let

\overline{XZ}

be tangent to the smaller circle at

Z,

and let

\overline{OY}

be the radius of the larger circle that contains

Z.

Let

a = XZ,

d = YZ,

and

e = XY.

What is the area of the annulus?

\pi a^2

\pi b^2

\pi c^2

\pi d^2

\pi e^2

答案：A

知识点：圆环切线勾股定理

难度评级：1460

小提示：

圆环面积为

\pi b^2 - \pi c^2

。

The annulus area is

\pi b^2 - \pi c^2

大提示：

因为

\overline{XZ}

是切线，

\triangle OZX

在

Z

处为直角，所以

b^2 - c^2 = a^2

。

Since

\overline{XZ}

is tangent,

\triangle OZX

is right-angled at

Z,

so

b^2 - c^2 = a^2

解答：

圆环面积为

\pi b^2 - \pi c^2

。因为

\overline{XZ}

在

Z

处与小圆相切，所以它垂直于半径

\overline{OZ}

，于是

\triangle OZX

在

Z

处为直角。由此

b^2 = c^2 + a^2

，所以

b^2 - c^2 = a^2

，面积为

\pi a^2

。

因此正确答案是 A。

The annulus area is

\pi b^2 - \pi c^2.

Because

\overline{XZ}

is tangent to the smaller circle at

Z,

it is perpendicular to radius

\overline{OZ},

so

\triangle OZX

is right-angled at

Z.

Then

b^2 = c^2 + a^2,

giving

b^2 - c^2 = a^2.

The area is

\pi a^2.

Thus, the correct answer is A.

2004 AMC 12B 第 10 题

答案：A

难度评级：1460

小提示：

大提示：

解答：

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