2002 AMC 12B 第 13 题

Question

18

个连续正整数的和是一个完全平方数。这个和的最小可能值是

The sum of

18

consecutive positive integers is a perfect square. The smallest possible value of this sum is

169

225

289

361

441

答案：B

知识点：完全平方数等差数列

难度评级：1430

小提示：

n

，

n+1,\ldots

，

n+17

的和等于

9(2n+17)

。

The sum of

n,

n+1,\ldots,

n+17

equals

9(2n+17)

大提示：

因为

9

已经是平方数，

2n+17

必须是奇完全平方数；取最小的可行值。

Since

9

is already a square,

2n+17

must be an odd perfect square; take the smallest valid one

解答：

n

、

n+1,\ldots

、

n+17

的和为

18n+\dfrac{17\cdot18}{2}=9(2n+17)

。因为

9

已经是平方数，所以

2n+17

也必须是完全平方数。

使

2n+17

成为完全平方数的最小正整数

n

是

n=4

，此时

2n+17=25

，和为

9\cdot25=225

。

所以正确答案是 B。

The sum of

n,

n+1,\ldots,

n+17

is

18n+\dfrac{17\cdot18}{2}=9(2n+17).

Since

9

is a perfect square,

2n+17

must be one too.

The smallest positive integer

n

making

2n+17

a perfect square is

n=4,

giving

2n+17=25

and a sum of

9\cdot25=225.

Thus, the correct answer is B.

2002 AMC 12B 第 13 题

答案：B

难度评级：1430

小提示：

大提示：

解答：

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