2000 AMC 12 第 15 题

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15.

设函数

f

满足

f\!\left(\dfrac{x}{3}\right) = x^2 + x + 1

。求所有满足

f(3z) = 7

的

z

的和。

Let

f

be a function for which

f\!\left(\dfrac{x}{3}\right) = x^2 + x + 1.

Find the sum of all values of

z

for which

f(3z) = 7.

-\dfrac{1}{3}

-\dfrac{1}{9}

0

\dfrac{5}{9}

\dfrac{5}{3}

答案：B

知识点：函数换元法韦达定理

难度评级：1650

小提示：

要计算

f(3z)

，令

\dfrac{x}{3} = 3z

，所以

x = 9z

。

To evaluate

f(3z),

set

\dfrac{x}{3} = 3z,

so

x = 9z

大提示：

这样会得到关于

z

的二次方程；使用根和公式

-\dfrac{b}{a}

。

This gives a quadratic in

z

; use the sum-of-roots formula

-\dfrac{b}{a}

解答：

令

\dfrac{x}{3} = 3z

得到

x = 9z

，所以

\begin{aligned} f(3z) &= (9z)^2 + 9z + 1 \\ &= 81z^2 + 9z + 1 \\ &= 7 \end{aligned}\text{。}

整理得

81z^2 + 9z - 6 = 0

。

由根和公式，所有

z

的和为

-\dfrac{9}{81} = -\dfrac{1}{9}

。

因此，正确答案是 B。

Setting

\dfrac{x}{3} = 3z

gives

x = 9z,

so

\begin{aligned} f(3z) &= (9z)^2 + 9z + 1 \\ &= 81z^2 + 9z + 1 \\ &= 7. \end{aligned}

This rearranges to

81z^2 + 9z - 6 = 0.

By the sum-of-roots formula, the sum of the values of

z

is

-\dfrac{9}{81} = -\dfrac{1}{9}.

Thus, the correct answer is B.

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