1994 AMC 12 第 15 题

Question

有多少个

n

属于

\{1,2,3,\ldots,100\}

，且

n^2

的十位数字是奇数？

For how many

n

in

\{1,2,3,\ldots,100\}

is the tens digit of

n^2

odd?

10

20

30

40

50

答案：B

知识点：squares modulo 100 decimal digits

难度评级：1750

小提示：

n^2

的十位数字的奇偶性只取决于

n

的个位数字

The parity of the tens digit of

n^2

depends only on the units digit of

n

大提示：

检查十种可能的个位数字的平方

Check the squares of the ten possible units digits

解答：

写成

n=10a+b

。模

100

意义下，

n^2\equiv20ab+b^2\text{。}

项

20ab

使十位数字改变一个偶数，所以只需考虑

b^2

的十位数字。在

b=0,1,\ldots,9

中，只有

b=4

和

b=6

时该数字为奇数。从

1

到

100

中，每种个位数字都出现

10

次，所以共有

2\cdot10=20

个。因此正确答案是 B。

Write

n=10a+b.

Modulo

100,

n^2\equiv20ab+b^2.

The term

20ab

changes the tens digit by an even amount, so only the tens digit of

b^2

matters. Among

b=0,1,\ldots,9,

it is odd only for

b=4

and

b=6.

Each units digit occurs

10

times from

1

through

100,

giving

2\cdot10=20.

Thus the correct answer is B.

1994 AMC 12 第 15 题

答案：B

难度评级：1750

小提示：

大提示：

解答：

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