2022 AMC 12B Problema 3

Question

¿Cuántos de los diez primeros números de la sucesión

121,

11211,

1112111,

\ldots

son primos?

How many of the first ten numbers of the sequence

121,

11211,

1112111,

\ldots

are prime numbers?

0

1

2

3

4

Busca una factorización de cada término en dos enteros ambos mayores que

1

.

Look for a factorization of each term into two integers both greater than

1

Intenta escribir un término como un repunit por un número de la forma

10^n + 1,

por ejemplo

11211 = 111 \cdot 101

.

Try writing a term as a repunit times a number of the form

10^n + 1,

for example

11211 = 111 \cdot 101

El

n

-ésimo término consta de

n

unos, luego un

2,

y luego

n

unos. Se factoriza como un repunit por un número de la forma

10^n + 1:

\begin{aligned} &121 = 11 \cdot 11, \\ &\quad 11211 = 111 \cdot 101, \\ &\quad 1112111 = 1111 \cdot 1001, \end{aligned}

y en general el

n

-ésimo término es igual a

\underbrace{1\cdots1}_{n+1} \cdot (10^n + 1).

Para todo

n \ge 1

ambos factores son mayores que

1,

por lo que cada término es compuesto. Ninguno de los diez números es primo.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The

n

th term consists of

n

ones, then a

2,

then

n

ones. It factors as a repunit times a number of the form

10^n + 1:

\begin{aligned} &121 = 11 \cdot 11, \\ &\quad 11211 = 111 \cdot 101, \\ &\quad 1112111 = 1111 \cdot 1001, \end{aligned}

and in general the

n

th term equals

\underbrace{1\cdots1}_{n+1} \cdot (10^n + 1).

For every

n \ge 1

both factors exceed

1,

so every term is composite. None of the ten numbers is prime.

Thus, the correct answer is A.

El Problema 3 en otros años