2002 AMC 12B Problema 1

Question

La media aritmética de los nueve números del conjunto

\{9,

99,

999,

9999,

\ldots,

999999999\}

es un número de

9

cifras

M,

cuyas cifras son todas distintas. El número

M

no contiene la cifra

The arithmetic mean of the nine numbers in the set

\{9,

99,

999,

9999,

\ldots,

999999999\}

is a

9

-digit number

M,

all of whose digits are distinct. The number

M

does not contain the digit

0

2

4

6

8

La media es

\dfrac{1}{9}(9+99+\cdots+999{,}999{,}999)

.

The mean is

\dfrac{1}{9}(9+99+\cdots+999{,}999{,}999)

Al dividir cada término entre

9

la suma se convierte en

1+11+111+\cdots

; súmalos y observa qué cifra nunca aparece.

Dividing each term by

9

turns the sum into

1+11+111+\cdots

; add these and see which digit never appears

Cada uno de los nueve números es

10^k-1,

así que su suma es

9+99+\cdots+999{,}999{,}999.

Al dividir entre

9,

\begin{aligned} M &= 1+11+111+\cdots \\ &\quad {}+111{,}111{,}111 \\ &= 123{,}456{,}789. \end{aligned}

Sus cifras son del

1

al

9,

por lo que la cifra que falta es

0.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Each of the nine numbers is

10^k-1,

so their sum is

9+99+\cdots+999{,}999{,}999.

Dividing by

9,

\begin{aligned} M &= 1+11+111+\cdots \\ &\quad {}+111{,}111{,}111 \\ &= 123{,}456{,}789. \end{aligned}

Its digits are

1

through

9,

so the missing digit is

0.

Thus, the correct answer is A.

El Problema 1 en otros años