Respuesta: 315

Solución:

Coloca los vértices en los ángulos $30k^\circ$ sobre un círculo unitario. La cuerda que une los vértices $i$ y $j$ tiene dirección $15(i+j)^\circ + 90^\circ,$ así que las cuerdas vienen en $12$ direcciones separadas $15^\circ$, y un rectángulo usa dos cuerdas de cada una de dos direcciones perpendiculares. Los seis pares de direcciones perpendiculares se dividen en dos clases, tres de cada una, por rotación. Cuando $i + j$ es par, una familia de cuerdas paralelas tiene $5$ miembros, a distancias $0, \pm\frac{1}{2}, \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$ del centro con semilongitudes $1, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}$ respectivamente; cuando $i + j$ es impar, una familia tiene $6$ miembros, a distancias $\pm\cos 75^\circ, \pm\cos 45^\circ, \pm\cos 15^\circ$ con semilongitudes $\sin 75^\circ, \sin 45^\circ, \sin 15^\circ.$

Una esquina es la intersección de una cuerda de cada dirección, y su desplazamiento a lo largo de una cuerda es igual a la distancia al centro de la otra cuerda. Como las semilongitudes decrecen a medida que la distancia crece, las cuatro esquinas están sobre los cuatro segmentos de cuerda exactamente cuando, escribiendo $D_1, D_2$ para las mayores distancias de los dos pares elegidos, cada $D$ es a lo sumo la semilongitud de la cuerda más lejana del otro par. Para las familias de $5$ cuerdas: los pares con $D = \frac{\sqrt{3}}{2}$ (hay $7$) tienen cota de semilongitud $\frac{1}{2},$ y los pares con $D = \frac{1}{2}$ (hay $3$) tienen cota $\frac{\sqrt{3}}{2};$ las combinaciones válidas dan $7 \cdot 3 + 3 \cdot 7 + 3 \cdot 3 = 51$ rectángulos. Para las familias de $6$ cuerdas: hay $1, 5, 9$ pares con $D = \cos 75^\circ, \cos 45^\circ, \cos 15^\circ,$ y las combinaciones válidas son $(\cos 75^\circ, \cos 75^\circ),$ ambos órdenes de $(\cos 75^\circ, \cos 45^\circ)$ y $(\cos 75^\circ, \cos 15^\circ),$ y $(\cos 45^\circ, \cos 45^\circ),$ lo que da $1 + 5 + 5 + 9 + 9 + 25 = 54.$

Cada clase de par de direcciones ocurre tres veces, así que el total es $3(51 + 54) = 315.$