2017 AIME II Problema 4

Question

Halle el número de enteros positivos menores o iguales que

2017

cuya representación en base tres no contiene ningún dígito igual a

0.

Find the number of positive integers less than or equal to

2017

whose base-three representation contains no digit equal to

0.

Respuesta

Respuesta: 222

Conceptos:base numérica dígitos análisis por casos

Nivel de dificultad: 2230

Pista pequeña:

Una representación en base tres evita el dígito

0

exactamente cuando cada dígito es

1

o

2;

hay

2^k

números de

k

dígitos así

A base-three representation avoids the digit

0

exactly when every digit is

1

or

2;

there are

2^k

such

k

-digit numbers

Pista grande:

Como

2017 = 2202201_3,

decida cuáles cadenas de

7

dígitos formadas por

1

y

2

quedan por debajo de la cota mirando los dos primeros dígitos

Since

2017 = 2202201_3,

decide which

7

-digit strings of

1

s and

2

s stay below the bound by looking at the first two digits

Solución:

Un entero positivo no tiene ningún

0

en base tres exactamente cuando cada dígito es

1

o

2.

Para

k = 1, 2, \ldots, 6

hay

2^k

números de

k

dígitos así, y todos ellos son a lo sumo

222222_3 = 728 \lt 2017.

Como

2017 = 2202201_3,

una cadena de siete dígitos formada por

1

y

2

es a lo sumo

2017

exactamente cuando empieza por

11,

12,

o

21:

cualquier cadena que empiece por

22

ya supera a

2202201_3

en el tercer dígito, pues sus dígitos no son nulos. Eso da

3 \cdot 2^5 = 96

números de siete dígitos.

El total es

2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64

+ 96 = 222.

A positive integer has no

0

in base three exactly when every digit is

1

or

2.

For

k = 1, 2, \ldots, 6

there are

2^k

such

k

-digit numbers, and all of them are at most

222222_3 = 728 \lt 2017.

Since

2017 = 2202201_3,

a seven-digit string of

1

s and

2

s is at most

2017

exactly when it begins with

11,

12,

or

21:

any string beginning

22

already beats

2202201_3

at the third digit, since its digits are nonzero. That gives

3 \cdot 2^5 = 96

seven-digit numbers.

The total is

2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64

+ 96 = 222.