2013 AIME II Problema 15

Question

Sean

A,

B,

C

los ángulos de un triángulo, con

A

y

C

agudos y

B

obtuso, que satisfacen

\begin{aligned} &\cos^2 A + \cos^2 B \\ &\quad {}+ 2 \sin A \sin B \cos C = \frac{15}{8} \end{aligned}

y

\begin{aligned} &\cos^2 B + \cos^2 C \\ &\quad {}+ 2 \sin B \sin C \cos A = \frac{14}{9}. \end{aligned}

Existen enteros positivos

p,

q,

r,

y

s

para los cuales

\begin{aligned} &\cos^2 C + \cos^2 A \\ &\quad {}+ 2 \sin C \sin A \cos B \\ &= \frac{p - q\sqrt{r}}{s}, \end{aligned}

donde

p + q

y

s

son primos entre sí y

r

no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halla

p + q + r + s.

Let

A,

B,

C

be angles of a triangle with

A

and

C

acute and

B

greater than a right angle satisfying

\begin{aligned} &\cos^2 A + \cos^2 B \\ &\quad {}+ 2 \sin A \sin B \cos C = \frac{15}{8} \end{aligned}

and

\begin{aligned} &\cos^2 B + \cos^2 C \\ &\quad {}+ 2 \sin B \sin C \cos A = \frac{14}{9}. \end{aligned}

There are positive integers

p,

q,

r,

and

s

for which

\begin{aligned} &\cos^2 C + \cos^2 A \\ &\quad {}+ 2 \sin C \sin A \cos B \\ &= \frac{p - q\sqrt{r}}{s}, \end{aligned}

where

p + q

and

s

are relatively prime and

r

is not divisible by the square of any prime. Find

p + q + r + s.

Respuesta

Respuesta: 222

Conceptos:ley de los senos ley de los cosenos identidad trigonométrica

Nivel de dificultad: 3370

Pista pequeña:

Reescribe la primera ecuación como

\sin^2 A + \sin^2 B

- 2\sin A \sin B \cos C = \frac{1}{8};

las leyes de senos y cosenos convierten el lado izquierdo en

\sin^2 C

.

Rewrite the first equation as

\sin^2 A + \sin^2 B

- 2\sin A \sin B \cos C = \frac{1}{8};

the laws of sines and cosines turn the left side into

\sin^2 C

Pista grande:

Así que

\sin^2 C = \frac{1}{8}

y

\sin^2 A = \frac{4}{9},

y la cantidad pedida es

2 - \sin^2 B

con

\sin B = \sin(A + C)

.

So

\sin^2 C = \frac{1}{8}

and

\sin^2 A = \frac{4}{9},

and the requested quantity is

2 - \sin^2 B

with

\sin B = \sin(A + C)

Solución:

Reemplazando cada

\cos^2

por

1 - \sin^2,

la primera ecuación se convierte en

\sin^2 A + \sin^2 B

- 2 \sin A \sin B \cos C = \frac{1}{8}.

Por la ley de senos,

\sin A = \frac{a}{2R}

y así sucesivamente, de modo que el lado izquierdo es

\begin{aligned} \frac{a^2 + b^2 - 2ab\cos C}{4R^2} &= \frac{c^2}{4R^2} \\ &= \sin^2 C \end{aligned}

por la ley de los cosenos. De aquí

\sin^2 C = 2 - \frac{15}{8} = \frac{1}{8}.

El mismo argumento convierte la segunda ecuación en

\sin^2 A = 2 - \frac{14}{9} = \frac{4}{9},

y muestra que la expresión pedida es igual a

2 - \sin^2 B.

Como

A

y

C

son agudos,

\cos A = \frac{\sqrt{5}}{3}

y

\cos C = \frac{\sqrt{14}}{4},

con

\sin A = \frac{2}{3}

y

\sin C = \frac{\sqrt{2}}{4}.

Entonces

\begin{aligned} \sin B &= \sin(A + C) \\ &= \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{14}}{4} + \frac{\sqrt{5}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{4} \\ &= \frac{2\sqrt{14} + \sqrt{10}}{12}, \end{aligned}

así que

\sin^2 B = \frac{66 + 8\sqrt{35}}{144} = \frac{33 + 4\sqrt{35}}{72}.

Por lo tanto

2 - \sin^2 B = \frac{111 - 4\sqrt{35}}{72},

y

p + q + r + s

= 111 + 4 + 35 + 72

= 222.

Replacing each

\cos^2

by

1 - \sin^2,

the first equation becomes

\sin^2 A + \sin^2 B

- 2 \sin A \sin B \cos C = \frac{1}{8}.

By the law of sines,

\sin A = \frac{a}{2R}

and so on, so the left side equals

\begin{aligned} \frac{a^2 + b^2 - 2ab\cos C}{4R^2} &= \frac{c^2}{4R^2} \\ &= \sin^2 C \end{aligned}

by the law of cosines. Hence

\sin^2 C = 2 - \frac{15}{8} = \frac{1}{8}.

The same argument turns the second equation into

\sin^2 A = 2 - \frac{14}{9} = \frac{4}{9},

and shows the requested expression equals

2 - \sin^2 B.

Since

A

and

C

are acute,

\cos A = \frac{\sqrt{5}}{3}

and

\cos C = \frac{\sqrt{14}}{4},