Question

¿Cuántas cuádruplas ordenadas de enteros

(a,b,c,d)

con

0<a<b<c<d<500

satisfacen

a+d=b+c

y

bc-ad=93

?

How many ordered four-tuples of integers

(a,b,c,d)

with

0<a<b<c<d<500

satisfy

a+d=b+c

and

bc-ad=93?

Respuesta

Respuesta: 870

Conceptos:análisis por casos conteo de enteros en un rango factorización

Nivel de dificultad: 2310

Pista pequeña:

La primera ecuación implica que

b-a=d-c

The first equation implies that

b-a=d-c

Pista grande:

Toma

x=b-a=d-c

y factoriza

bc-ad

en términos de

x

y

c-a

Set

x=b-a=d-c

and factor

bc-ad

in terms of

x

and

c-a

Solución:

Sean

x=b-a=d-c>0

y

y=c-a.

Entonces

\begin{aligned}bc-ad&=(a+x)c-a(c+x)\\&=x(c-a)=xy=93.\end{aligned}

Como

b<c,

necesitamos

x<y.

Los pares de factores positivos son

(x,y)=(1,93)

y

(3,31).

Para el primero,

d=a+94<500

da

405

opciones para

a.

Para el segundo,

d=a+34<500

da

465

opciones. El total es

405+465=870.

Let

x=b-a=d-c>0

and

y=c-a.

Then

\begin{aligned}bc-ad&=(a+x)c-a(c+x)\\&=x(c-a)=xy=93.\end{aligned}

Since

b<c,

we need

x<y.

The positive factor pairs are

(x,y)=(1,93)

and

(3,31).

For the first,

d=a+94<500

gives

405

choices for

a.

For the second,

d=a+34<500

gives

465

choices. The total is

405+465=870.

1993 AIME Problema 4

Respuesta: 870

Nivel de dificultad: 2310

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 4 en otros años