2025 AMC 12B 第 7 题

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7.

求下列和的值：

\sum_{n=2}^{255} \frac{\log_2\left(1 + \frac{1}{n}\right)}{(\log_2 n)(\log_2(n+1))}\text{？}

What is the value of

\sum_{n=2}^{255} \frac{\log_2\left(1 + \frac{1}{n}\right)}{(\log_2 n)(\log_2(n+1))}?

\dfrac{3}{4}

1 - \dfrac{1}{\log_2 255}

\dfrac{7}{8}

\dfrac{15}{16}

1

答案：C

知识点：裂项相消对数

难度评级：1420

小提示：

写成

\log_2\!\left(1 + \frac{1}{n}\right)

= \log_2(n+1) - \log_2 n

。

Write

\log_2\!\left(1 + \frac{1}{n}\right)

= \log_2(n+1) - \log_2 n

大提示：

若

a_n = \log_2 n

，每一项就变成

\dfrac{1}{a_n} - \dfrac{1}{a_{n+1}}

。

With

a_n = \log_2 n,

each term becomes

\dfrac{1}{a_n} - \dfrac{1}{a_{n+1}}

解答：

令

a_n = \log_2 n

。分子是

a_{n+1} - a_n

，所以

\dfrac{a_{n+1} - a_n}{a_n a_{n+1}} = \dfrac{1}{a_n} - \dfrac{1}{a_{n+1}}

。从

n = 2

到

255

裂项相消，得到

\dfrac{1}{\log_2 2} - \dfrac{1}{\log_2 256} = 1 - \dfrac{1}{8}

= \dfrac{7}{8}

。

所以正确答案是 C。

Let

a_n = \log_2 n.

The numerator equals

a_{n+1} - a_n,

so each term is

\dfrac{a_{n+1} - a_n}{a_n a_{n+1}} = \dfrac{1}{a_n} - \dfrac{1}{a_{n+1}}.

Telescoping from

n = 2

to

255

leaves

\dfrac{1}{\log_2 2} - \dfrac{1}{\log_2 256} = 1 - \dfrac{1}{8}

= \dfrac{7}{8}.

Thus, the correct answer is C.

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