2024 AMC 12B 第 15 题

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15.

坐标平面中一个三角形的顶点为

A(\log_2 1, \log_2 2)

，

B(\log_2 3, \log_2 4)

，和

C(\log_2 7, \log_2 8)

。

\triangle ABC

的面积是多少？

A triangle in the coordinate plane has vertices

A(\log_2 1, \log_2 2),

B(\log_2 3, \log_2 4),

and

C(\log_2 7, \log_2 8).

What is the area of

\triangle ABC?

\log_2 \dfrac{\sqrt3}{7}

\log_2 \dfrac{3}{\sqrt7}

\log_2 \dfrac{7}{\sqrt3}

\log_2 \dfrac{11}{\sqrt7}

\log_2 \dfrac{11}{\sqrt3}

答案：B

知识点：鞋带公式对数三角形面积

难度评级：1800

小提示：

顶点为

(0, 1)

、

(\log_2 3, 2)

和

(\log_2 7, 3)

。

The vertices are

(0, 1),

(\log_2 3, 2),

and

(\log_2 7, 3)

大提示：

使用鞋带公式，并用

2\log_2 3 - \log_2 7 = \log_2 \dfrac{9}{7}

化简，再把对数减半。

Apply the shoelace formula and simplify with

2\log_2 3 - \log_2 7 = \log_2 \dfrac{9}{7},

then halve the logarithm

解答：

顶点为

A = (0, 1)

、

B = (\log_2 3, 2)

、

C = (\log_2 7, 3)

。由鞋带公式，

\begin{gathered} [\triangle ABC]\\ {}=\tfrac12\,\bigl|2\log_2 3-\log_2 7\bigr| \end{gathered}\text{。}

该式等于

\tfrac12\log_2 \dfrac{9}{7} = \log_2 \sqrt{\tfrac{9}{7}} = \log_2 \dfrac{3}{\sqrt7}

。

所以正确答案是 B。

The vertices are

A = (0, 1),

B = (\log_2 3, 2),

C = (\log_2 7, 3).

By the shoelace formula,

\begin{gathered} [\triangle ABC]\\ {}=\tfrac12\,\bigl|2\log_2 3-\log_2 7\bigr|. \end{gathered}

This equals

\tfrac12\log_2 \dfrac{9}{7} = \log_2 \sqrt{\tfrac{9}{7}} = \log_2 \dfrac{3}{\sqrt7}.

Thus, the correct answer is B.

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