Question

实数 $x, y, h$ 和 $k$ 满足方程组

$x^2 + y^2 - 6x - 8y = h$

$x^2 + y^2 - 10x + 4y = k.$

求 $h + k$ 的最小可能值。

There are real numbers $x, y, h,$ and $k$ that satisfy the system of equations

$x^2 + y^2 - 6x - 8y = h$

$x^2 + y^2 - 10x + 4y = k.$

What is the minimum possible value of $h + k?$

$-54$

$-46$

$-34$

$-16$

$16$

答案：C

知识点：配方法最优化

难度评级：1640

解答：

两式相加，得两个平方项都非负，所以最小值在 $x = 4$ 、 $y = 1$ 时取得，为 $h + k = -34$ 。 $\begin{aligned} h + k &= 2x^2 + 2y^2 - 16x - 4y \\ &= 2(x - 4)^2 \\ &\quad {}+ 2(y - 1)^2 - 34. \end{aligned}$

所以正确答案是 C。

Adding the equations, $\begin{aligned} h + k &= 2x^2 + 2y^2 - 16x - 4y \\ &= 2(x - 4)^2 \\ &\quad {}+ 2(y - 1)^2 - 34. \end{aligned}$ Both squared terms are nonnegative, so the minimum occurs at $x = 4,$ $y = 1,$ giving $h + k = -34.$

Thus, the correct answer is C.

2024 AMC 12B 第 13 题

答案：C

难度评级：1640

解答：

其他年份的第 13 题