2024 AMC 12A 第 15 题

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15.

多项式

x^3+2x^2-x+3

的根为

p

、

q

和

r

。求下式的值：

(p^2+4)(q^2+4)(r^2+4)\text{？}

The roots of

x^3+2x^2-x+3

are

p

q

, and

r

. What is the value of

(p^2+4)(q^2+4)(r^2+4)?

64

75

100

125

144

答案：D

知识点：复数多项式

难度评级：1710

小提示：

p^2+4=(p-2i)(p+2i)

，所以这个乘积与

P(2i)

和

P(-2i)

有关，其中

P(x)=x^3+2x^2-x+3

p^2+4=(p-2i)(p+2i),

so the product relates to

P(2i)

and

P(-2i),

where

P(x)=x^3+2x^2-x+3

大提示：

P(2i)

和

P(-2i)

是共轭复数；将它们相乘得到实数

P(2i)

and

P(-2i)

are complex conjugates; multiply them to get a real number

解答：

因为

P(x)=(x-p)(x-q)(x-r)

，将所有根上的

p^2+4=(p-2i)(p+2i)

分组可得

\prod(p^2+4)=P(2i)\,P(-2i)\text{。}

计算得

P(2i)=-8i-8-2i+3

=-5-10i

，而

P(-2i)=8i-8+2i+3

=-5+10i

。它们的乘积为

(-5)^2+10^2=25+100=125

。因此正确答案是 D。

Since

P(x)=(x-p)(x-q)(x-r),

grouping

p^2+4=(p-2i)(p+2i)

over all roots gives

\prod(p^2+4)=P(2i)\,P(-2i).

Compute

P(2i)=-8i-8-2i+3

=-5-10i

and

P(-2i)=8i-8+2i+3

=-5+10i.

Their product is

(-5)^2+10^2=25+100=125.

Thus, the correct answer is D.

2024 AMC 12A 第 15 题

答案：D

难度评级：1710

小提示：

大提示：

解答：

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