Question

一个等比数列的前三项是整数 $a,\ 720$ 、 $b$ ，其中 $a\lt720\lt b$ 。 $b$ 的最小可能值的各位数字之和是多少？

The first three terms of a geometric sequence are the integers $a,\ 720,$ and $b,$ where $a\lt720\lt b.$ What is the sum of the digits of the least possible value of $b?$

$9$

$12$

$16$

$18$

$21$

答案：E

知识点：等比数列因数最优化

难度评级：1630

解答：

因为各项成等比数列， $720^2=ab,$ 所以 $ab=518400=2^8\cdot3^4\cdot5^2.$ 因为 $b=518400/a,$ 要使 $b$ 最小，就要找 $518400$ 中大于 $720.$ 的最小因数。严格位于 $720$ 与 $768:$ 之间的因数不存在：如果它的 $5$ 的指数为 $2,1,$ 或 $0,$ 那么分别除以 $25,5,$ 或 $1,$ 后，形如 $2^i3^j$ 的数必须位于 $(28.8,30.72),\ (144,153.6),$ 或 $(720,768);$ 而允许的幂 $i\le8,j\le4$ 中没有符合者。因为 $768=2^8\cdot3$ 是因数，所以它是最小可能的 $b.$ 与它配对的因数为 $a=518400/768=675,$ 而 $b$ 的数位和为 $7+6+8=21.$ 因此，正确答案是 E。

Since the terms are geometric, $720^2=ab,$ so $ab=518400=2^8\cdot3^4\cdot5^2.$ Because $b=518400/a,$ minimizing $b$ means finding the smallest divisor of $518400$ greater than $720.$ There is no divisor strictly between $720$ and $768:$ if its exponent of $5$ is $2,1,$ or $0,$ then after dividing by $25,5,$ or $1,$ respectively, a number of the form $2^i3^j$ would have to lie in $(28.8,30.72),\ (144,153.6),$ or $(720,768);$ the allowed powers $i\le8,j\le4$ give none. Since $768=2^8\cdot3$ is a divisor, it is the least possible $b.$ Its paired divisor is $a=518400/768=675,$ and the digit sum of $b$ is $7+6+8=21.$ Thus, the correct answer is E.

2024 AMC 12A 第 12 题

答案：E

难度评级：1630

解答：

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