2023 AMC 12B 第 7 题

Question

有多少个整数

n

使得表达式

\sqrt{\frac{\log(n^2)-(\log n)^2}{\log n-3}}

表示一个实数，其中

\log

表示以

10

为底的对数？

For how many integers

n

does the expression

\sqrt{\frac{\log(n^2)-(\log n)^2}{\log n-3}}

represent a real number, where

\log

denotes the base

10

logarithm?

900

3

902

2

901

答案：E

知识点：对数不等式

难度评级：1530

小提示：

表达式为实数，当且仅当平方根下的分式

\ge 0

。

The expression is real exactly when the fraction under the square root is

\ge 0

大提示：

令

L=\log n

；分式为

\dfrac{L(2-L)}{L-3}\ge 0

，且

n

必须是正整数

Let

L=\log n;

the fraction is

\dfrac{L(2-L)}{L-3}\ge 0,

and

n

must be a positive integer

解答：

设

L=\log n

，则

\log(n^2)-(\log n)^2

=2L-L^2

=L(2-L)

，分式为

\dfrac{L(2-L)}{L-3}

。作符号分析可知它

\ge 0

当且仅当

L\le 0

或

2\le L\lt 3

。由于

n

是正整数，

L\le 0

只给出

n=1

，而

2\le L\lt 3

给出

100\le n\le 999

，共

900

个值。总数为

1+900=901

。

因此，正确答案是 E。

Write

L=\log n.

Then

\log(n^2)-(\log n)^2

=2L-L^2

=L(2-L),

and the fraction is

\dfrac{L(2-L)}{L-3}.

A sign chart shows this is

\ge 0

exactly when

L\le 0

or

2\le L\lt 3.

Since

n

is a positive integer,

L\le 0

forces

n=1,

while

2\le L\lt 3

gives

100\le n\le 999,

which is

900

values. In total

1+900=901.

Thus, the correct answer is E.

2023 AMC 12B 第 7 题

答案：E

难度评级：1530

小提示：

大提示：

解答：

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