Question

小于 $2023$ 且能被 $5$ 整除的正完全平方数有多少个？

How many positive perfect squares less than $2023$ are divisible by $5?$

$8$

$9$

$10$

$11$

$12$

一个完全平方数能被 $5$ 整除，只有它的平方根也能被五整除，因此这些平方数形如 $(5k)^2=25k^2$ 。

因为 $44^2=1936\lt 2023$ ，而且这个数 $\lt 2025=45^2$ ，所以平方根可以是 $5,10,\ldots,40$ ，也就是 $k=1$ 到 $8$ 。

所以正确答案是 A。

A perfect square is divisible by $5$ only if its root is, so the squares are $(5k)^2=25k^2.$

Since $44^2=1936\lt 2023$ $\lt 2025=45^2,$ the root can be $5,10,\ldots,40,$ which is $k=1$ through $8.$

Thus, the correct answer is A.