Question

数列 $121, 11211, 1112111, \ldots$ 的前十项中，有多少项是质数？

How many of the first ten numbers of the sequence $121, 11211, 1112111, \ldots$ are prime numbers?

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

答案：A

知识点：因式分解质数

难度评级：1350

解答：

第 $n$ 项由 $n$ 个一、一个 $2$ ，再接 $n$ 个一组成。它可分解为循环单位数与形如 $10^n + 1$ 的数之积。例如一般地，第 $n$ 项等于 $\underbrace{1\cdots1}_{n+1} \cdot (10^n + 1)$ 。 $\begin{aligned} &121 = 11 \cdot 11, \\ &\quad 11211 = 111 \cdot 101, \\ &\quad 1112111 = 1111 \cdot 1001, \end{aligned}$

对每个 $n \ge 1$ ，两个因子都大于 $1$ 所以每一项都是合数。

前十项中没有质数。所以正确答案是 A。

The $n$ th term consists of $n$ ones, then a $2,$ then $n$ ones. It factors as a repunit times a number of the form $10^n + 1:$ $\begin{aligned} &121 = 11 \cdot 11, \\ &\quad 11211 = 111 \cdot 101, \\ &\quad 1112111 = 1111 \cdot 1001, \end{aligned}$ and in general the $n$ th term equals $\underbrace{1\cdots1}_{n+1} \cdot (10^n + 1).$

For every $n \ge 1$ both factors exceed $1,$ so every term is composite. None of the ten numbers is prime.

Thus, the correct answer is A.

2022 AMC 12B 第 3 题

答案：A

难度评级：1350

解答：

其他年份的第 3 题