2022 AMC 12B 第 15 题

Question

下列数中有一个不能被任何小于

10

的质数整除。是哪一个？

One of the following numbers is not divisible by any prime number less than

10.

Which is it?

2^{606} - 1

2^{606} + 1

2^{607} - 1

2^{607} + 1

2^{607} + 3^{607}

答案：C

知识点：模运算乘法阶整除性

难度评级：1730

小提示：

五个数都是奇数，所以只需测试

3, 5

和

7

的整除性。

All five numbers are odd, so test divisibility only by

3, 5,

and

7

大提示：

使用

2^n

模

3, 5, 7

的循环；例如

n

为偶数时

2^n \equiv 1 \pmod 3

。

Use the cycles of

2^n

modulo

3, 5, 7:

for example

2^n \equiv 1 \pmod 3

when

n

is even

解答：

所有选项都是奇数，所以只需检查质数

3, 5, 7

。

选项 A 中，

2^{606} \equiv 1 \pmod 3

，所以

2^{606} - 1

能被

3

整除。选项 B 中，

2^{606} \equiv 4 \pmod 5

，所以

2^{606} + 1

能被

5

整除。选项 D 中，

2^{607} \equiv 2 \pmod 3

，所以

2^{607} + 1

能被

3

整除。选项 E 对

5

取模时，

2^{607} + 3^{607} \equiv 3 + 2 = 5 \equiv 0

。

对于

2^{607} - 1

，它对三取模时

\equiv 1 \pmod 3

，对五取模时

\equiv 2 \pmod 5

；而且由

2^3 \equiv 1 \pmod 7

和

607 \equiv 1 \pmod 3

可得它对七取模时

\equiv 1 \pmod 7

。因此它不能被任何小于

10

的质数整除。

所以正确答案是 C。

Every option is odd, so only the primes

3, 5, 7

need checking.

Option A:

2^{606} \equiv 1 \pmod 3,

so

2^{606} - 1

is divisible by

3.

Option B:

2^{606} \equiv 4 \pmod 5,

so

2^{606} + 1

is divisible by

5.

Option D:

2^{607} \equiv 2 \pmod 3,

so

2^{607} + 1

is divisible by

3.

Option E: modulo

5,

2^{607} + 3^{607} \equiv 3 + 2 = 5 \equiv 0.

For

2^{607} - 1:

it is

\equiv 1 \pmod 3,

\equiv 2 \pmod 5,

and (since

2^3 \equiv 1 \pmod 7

and

607 \equiv 1 \pmod 3

)

\equiv 1 \pmod 7.

So it is not divisible by any prime below

10.

Thus, the correct answer is C.

2022 AMC 12B 第 15 题

答案：C

难度评级：1730

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 15 题