2022 AMC 12A 第 15 题

Question

多项式

10x^3-39x^2+29x-6

的根分别是一个长方体的高、长、宽。将原长方体的每条棱都增加

2

个单位，形成一个新的长方体。新长方体的体积是多少？

The roots of the polynomial

10x^3-39x^2+29x-6

are the height, length, and width of a rectangular box (right rectangular prism). A new rectangular box is formed by lengthening each edge of the original box by

2

units. What is the volume of the new box?

\dfrac{24}{5}

\dfrac{42}{5}

\dfrac{81}{5}

30

48

答案：D

知识点：韦达定理体积

难度评级：1630

小提示：

由韦达定理，

r+s+t=\dfrac{39}{10}

，

rs+rt+st=\dfrac{29}{10}

，

rst=\dfrac35

。

By Vieta,

r+s+t=\dfrac{39}{10},

rs+rt+st=\dfrac{29}{10},

rst=\dfrac35

大提示：

用这些对称和展开

(r+2)(s+2)(t+2)

Expand

(r+2)(s+2)(t+2)

using these symmetric sums

解答：

设根为

r,s,t

。由韦达定理，

r+s+t=\dfrac{39}{10}

，

rs+rt+st=\dfrac{29}{10}

，且

rst=\dfrac{6}{10}=\dfrac35

。

新体积为

\begin{gathered} (r+2)(s+2)(t+2) \\ =rst+2(rs+rt+st) \\ \quad {}+4(r+s+t)+8 \\ =\frac35+\frac{58}{10} \\ \quad {}+\frac{156}{10}+8 \\ =30 \end{gathered}\text{。}

因此，正确答案是 D。

Let the roots be

r,s,t.

By Vieta’s formulas,

r+s+t=\dfrac{39}{10},

rs+rt+st=\dfrac{29}{10},

and

rst=\dfrac{6}{10}=\dfrac35.

The new volume is

\begin{gathered} (r+2)(s+2)(t+2) \\ =rst+2(rs+rt+st) \\ \quad {}+4(r+s+t)+8 \\ =\frac35+\frac{58}{10} \\ \quad {}+\frac{156}{10}+8 \\ =30. \end{gathered}

Thus, the correct answer is D.

2022 AMC 12A 第 15 题

答案：D

难度评级：1630

小提示：

大提示：

解答：

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