2021 AMC 12B Fall 第 7 题

Question

下列哪一个条件足以保证整数

x

、

y

、

z

满足方程

\begin{aligned} &x(x - y) + y(y - z) \\ &\quad {}+ z(z - x) = 1 \end{aligned}\text{？}

Which of the following conditions is sufficient to guarantee that integers

x,

y,

and

z

satisfy the equation

\begin{aligned} &x(x - y) + y(y - z) \\ &\quad {}+ z(z - x) = 1? \end{aligned}

x \gt y

且

y = z

x \gt y

and

y = z

x = y - 1

且

y = z - 1

x = y - 1

and

y = z - 1

x = z + 1

且

y = x + 1

x = z + 1

and

y = x + 1

x = z

且

y - 1 = x

x = z

and

y - 1 = x

x + y + z = 1

答案：D

知识点：代数变形分类讨论

难度评级：1400

小提示：

乘以

2

：左边的两倍等于

(x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2

Multiply by

2

: the left side equals

(x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2

大提示：

对整数而言，这个平方和等于

2

只可能是两个差为

\pm 1

，另一个差为

0

。

For integers, that sum equals

2

only when two differences are

\pm 1

and one is

0

解答：

有恒等式

\small \begin{aligned} &2\bigl[x(x-y) + y(y-z) + z(z-x)\bigr] \\ &= (x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2\text{。} \end{aligned}

所以原方程成立恰好当这个平方和等于

2

。

由于三个差的和为

0

，这要求其中两个为

\pm 1

，一个为

0

。

选项 D 给出

z - x = 0

、

x - y = -1

、

y - z = 1

，平方和为

1 + 1 + 0 = 2

。因此对所有满足该条件的整数都成立。

所以正确答案是 D。

The expression satisfies

\small \begin{aligned} &2\bigl[x(x-y) + y(y-z) + z(z-x)\bigr] \\ &= (x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2. \end{aligned}

So the equation holds exactly when this sum of squares equals

2.

Since the three differences sum to

0,

this requires two of them to be

\pm 1

and one to be

0.

Option D gives

z - x = 0,

x - y = -1,

and

y - z = 1,

so the squares are

1 + 1 + 0 = 2.

This works for all such integers.

Thus, the correct answer is D.

2021 AMC 12B Fall 第 7 题

答案：D

难度评级：1400

小提示：

大提示：

解答：

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