2020 AMC 12A 第 15 题

Question

在复平面中，设

A

为方程

z^3 - 8 = 0

的解集，设

B

为方程

z^3 - 8z^2 - 8z + 64 = 0

的解集。

A

中一点与

B

中一点之间的最大距离是多少？

In the complex plane, let

A

be the set of solutions to

z^3 - 8 = 0

and let

B

be the set of solutions to

z^3 - 8z^2 - 8z + 64 = 0.

What is the greatest distance between a point of

A

and a point of

B?

2\sqrt{3}

6

9

2\sqrt{21}

9 + \sqrt{3}

答案：D

知识点：复数因式分解距离公式

难度评级：1690

小提示：

A

是

8

的三个立方根；第二个三次式可用分组法分解

A

is the three cube roots of

8;

factor the second cubic by grouping

大提示：

最大距离来自

8

的一个非实立方根与第二个方程中最远的实根

The largest distance pairs a nonreal cube root of

8

with the farthest real root of the second equation

解答：

集合

A

由

8

的三个立方根组成：

2

、

-1 + i\sqrt3

和

-1 - i\sqrt3

。

分组因式分解，

z^3 - 8z^2 - 8z + 64

= z^2(z - 8) - 8(z - 8)

= (z - 8)(z^2 - 8)

，所以

B = \{8, 2\sqrt2, -2\sqrt2\}

，全都是实数。

最大距离是从

-1 \pm i\sqrt3

到

8

的距离：

\sqrt{(8 - (-1))^2 + (\sqrt3)^2}

= \sqrt{81 + 3}

= \sqrt{84} = 2\sqrt{21}

。

因此，正确答案是 D。

The set

A

consists of the cube roots of

8:

2,

-1 + i\sqrt3,

and

-1 - i\sqrt3.

Factoring by grouping,

z^3 - 8z^2 - 8z + 64

= z^2(z - 8) - 8(z - 8)

= (z - 8)(z^2 - 8),

so

B = \{8, 2\sqrt2, -2\sqrt2\},

all real.

The greatest distance is from

-1 \pm i\sqrt3

to

8:

\sqrt{(8 - (-1))^2 + (\sqrt3)^2}

= \sqrt{81 + 3}

= \sqrt{84} = 2\sqrt{21}.

Thus, D is the correct answer.

2020 AMC 12A 第 15 题

答案：D

难度评级：1690

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 15 题