Question

在复平面中，设 $A$ 为方程 $z^3 - 8 = 0$ 的解集，设 $B$ 为方程 $z^3 - 8z^2 - 8z + 64 = 0$ 的解集。 $A$ 中一点与 $B$ 中一点之间的最大距离是多少？

In the complex plane, let $A$ be the set of solutions to $z^3 - 8 = 0$ and let $B$ be the set of solutions to $z^3 - 8z^2 - 8z + 64 = 0.$ What is the greatest distance between a point of $A$ and a point of $B?$

$2\sqrt{3}$

$6$

$9$

$2\sqrt{21}$

$9 + \sqrt{3}$

答案：D

知识点：复数因式分解距离公式

难度评级：1690

解答：

集合 $A$ 由 $8$ 的三个立方根组成： $2$ 、 $-1 + i\sqrt3$ 和 $-1 - i\sqrt3$ 。

分组因式分解， $z^3 - 8z^2 - 8z + 64$ $= z^2(z - 8) - 8(z - 8)$ $= (z - 8)(z^2 - 8)$ ，所以 $B = \{8, 2\sqrt2, -2\sqrt2\}$ ，全都是实数。

最大距离是从 $-1 \pm i\sqrt3$ 到 $8$ 的距离： $\sqrt{(8 - (-1))^2 + (\sqrt3)^2}$ $= \sqrt{81 + 3}$ $= \sqrt{84} = 2\sqrt{21}$ 。

因此，正确答案是 D。

The set $A$ consists of the cube roots of $8:$ $2,$ $-1 + i\sqrt3,$ and $-1 - i\sqrt3.$

Factoring by grouping, $z^3 - 8z^2 - 8z + 64$ $= z^2(z - 8) - 8(z - 8)$ $= (z - 8)(z^2 - 8),$ so $B = \{8, 2\sqrt2, -2\sqrt2\},$ all real.

The greatest distance is from $-1 \pm i\sqrt3$ to $8:$ $\sqrt{(8 - (-1))^2 + (\sqrt3)^2}$ $= \sqrt{81 + 3}$ $= \sqrt{84} = 2\sqrt{21}.$

Thus, D is the correct answer.

2020 AMC 12A 第 15 题

答案：D

难度评级：1690

解答：

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