Question

存在都大于 $1$ 的整数 $a$ 、 $b$ 和 $c$ ，使得对所有 $N \gt 1$ 都有 $b$ 是多少？ $\sqrt[a]{N \sqrt[b]{N \sqrt[c]{N}}} = \sqrt[36]{N^{25}}$

There are integers $a,$ $b,$ and $c,$ each greater than $1,$ such that $\sqrt[a]{N \sqrt[b]{N \sqrt[c]{N}}} = \sqrt[36]{N^{25}}$ for all $N \gt 1.$ What is $b?$

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

答案：B

知识点：根式指数

难度评级：1590

解答：

左边等于 $N$ 的 $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{ab} + \dfrac{1}{abc},$ 次幂，而这个指数必须等于 $\dfrac{25}{36}.$

因为 $b,c\ge2,$ 这个指数至多为 $\dfrac{7}{4a}.$ 如果 $a\ge3,$ 它至多为 $\dfrac{7}{12}\lt\dfrac{25}{36},$ 所以 $a=2.$ 方程变为 $\dfrac{1}{2b}+\dfrac{1}{2bc}=\dfrac{7}{36}.$

清除分母得到 $c(7b-18)=18.$ 令 $d=7b-18,$ 则 $d$ 是 $18.$ 的正因数。在 $1,2,3,6,9,18,$ 中，只有 $d=3$ 能使 $b=\dfrac{d+18}{7}$ 为整数。因此 $b=3$ 且 $c=6.$

所以 B 是正确答案。

The left side equals $N$ raised to the exponent $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{ab} + \dfrac{1}{abc},$ which must equal $\dfrac{25}{36}.$

Because $b,c\ge2,$ this exponent is at most $\dfrac{7}{4a}.$ If $a\ge3,$ it is at most $\dfrac{7}{12}\lt\dfrac{25}{36},$ so $a=2.$ The equation becomes $\dfrac{1}{2b}+\dfrac{1}{2bc}=\dfrac{7}{36}.$

Clearing denominators gives $c(7b-18)=18.$ Set $d=7b-18,$ so $d$ is a positive divisor of $18.$ Among $1,2,3,6,9,18,$ only $d=3$ makes $b=\dfrac{d+18}{7}$ an integer. Hence $b=3$ and $c=6.$

Thus, B is the correct answer.

2020 AMC 12A 第 13 题

答案：B

难度评级：1590

解答：

其他年份的第 13 题