Question

对所有使 $4,6,8,17$ 和 $x$ 这五个数的中位数等于平均数的实数 $x$ ，这些数的和是多少？

What is the sum of all real numbers $x$ for which the median of the numbers $4,6,8,17,$ and $x$ is equal to the mean of those five numbers?

$-5$

$0$

$5$

$\dfrac{15}{4}$

$\dfrac{35}{4}$

答案：A

知识点：平均数中位数（数据）分类讨论

难度评级：1280

解答：

平均数为 $\dfrac{4+6+8+17+x}{5}=\dfrac{35+x}{5}$ 。

若 $x\le6$ 中位数是 $6$ ，所以 $\dfrac{35+x}{5}=6$ ，得 $x=-5$ ，符合该范围。

若 $6\lt x\lt8$ 中位数是 $x$ ，所以 $\dfrac{35+x}{5}=x$ ，得 $x=8.75$ ，不在范围内。若 $x\ge8$ 中位数是 $8$ ，所以 $\dfrac{35+x}{5}=8$ ，得 $x=5$ ，不在范围内。

唯一解是 $x=-5$ ，因此和为 $-5$ 。

所以正确答案是 A。

The mean is $\dfrac{4+6+8+17+x}{5}=\dfrac{35+x}{5}.$

If $x\le6,$ the median is $6,$ so $\dfrac{35+x}{5}=6$ gives $x=-5,$ which is consistent.

If $6\lt x\lt8,$ the median is $x,$ so $\dfrac{35+x}{5}=x$ gives $x=8.75,$ not in range. If $x\ge8,$ the median is $8,$ so $\dfrac{35+x}{5}=8$ gives $x=5,$ not in range.

The only solution is $x=-5,$ so the sum is $-5.$

Thus, A is the correct answer.

2019 AMC 12B 第 7 题

答案：A

难度评级：1280

解答：

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