2019 AMC 12B 第 7 题

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7.

使

4

，

6

，

8

，

17

和

x

这五个数的中位数等于平均数的所有实数

x

的和是多少？

What is the sum of all real numbers

x

for which the median of the numbers

4,

6,

8,

17,

and

x

is equal to the mean of those five numbers?

-5

0

5

\dfrac{15}{4}

\dfrac{35}{4}

答案：A

知识点：平均数中位数（数据）分类讨论

难度评级：1280

小提示：

平均数是

\dfrac{35+x}{5}

。

The mean is

\dfrac{35+x}{5}

大提示：

按中位数是

6

，

8

，还是

x

本身分情况

Split into cases by whether the median is

6,

8,

or

x

itself

解答：

平均数为

\dfrac{4+6+8+17+x}{5}=\dfrac{35+x}{5}

。

若

x\le6

，中位数是

6

，所以

\dfrac{35+x}{5}=6

，得

x=-5

，符合该范围。

若

6\lt x\lt8

，中位数是

x

，所以

\dfrac{35+x}{5}=x

，得

x=8.75

，不在范围内。若

x\ge8

，中位数是

8

，所以

\dfrac{35+x}{5}=8

，得

x=5

，不在范围内。

唯一解是

x=-5

，因此和为

-5

。

所以正确答案是 A。

The mean is

\dfrac{4+6+8+17+x}{5}=\dfrac{35+x}{5}.

If

x\le6,

the median is

6,

so

\dfrac{35+x}{5}=6

gives

x=-5,

which is consistent.

If

6\lt x\lt8,

the median is

x,

so

\dfrac{35+x}{5}=x

gives

x=8.75,

not in range. If

x\ge8,

the median is

8,

so

\dfrac{35+x}{5}=8

gives

x=5,

not in range.

The only solution is

x=-5,

so the sum is

-5.

Thus, A is the correct answer.

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