2018 AMC 12A 第 13 题

Question

有多少个非负整数可以写成下面的形式：

\begin{aligned} &a_7 \cdot 3^7 + a_6 \cdot 3^6 + a_5 \cdot 3^5 \\ &\quad {}+ a_4 \cdot 3^4 + a_3 \cdot 3^3 + a_2 \cdot 3^2 \\ &\quad {}+ a_1 \cdot 3^1 + a_0 \cdot 3^0 \end{aligned}\text{，}

其中对

0 \le i \le 7

有

a_i \in \{-1, 0, 1\}

？

How many nonnegative integers can be written in the form

\begin{aligned} &a_7 \cdot 3^7 + a_6 \cdot 3^6 + a_5 \cdot 3^5 \\ &\quad {}+ a_4 \cdot 3^4 + a_3 \cdot 3^3 + a_2 \cdot 3^2 \\ &\quad {}+ a_1 \cdot 3^1 + a_0 \cdot 3^0, \end{aligned}

where

a_i \in \{-1, 0, 1\}

for

0 \le i \le 7?

512

729

1094

3281

59{,}048

答案：D

知识点：进制双射对称性

难度评级：1660

小提示：

把每个

a_i

从

\{-1, 0, 1\}

平移到

\{0, 1, 2\}

，就得到普通的

3

进制数码

Shifting each

a_i

from

\{-1, 0, 1\}

to

\{0, 1, 2\}

makes an ordinary base-

3

numeral

大提示：

这

3^8

个可表示整数关于

0

对称；把

0

和其余数值的一半一起计数。

The

3^8

representable integers are symmetric about

0;

count

0

together with half of the remaining values

解答：

给每个

a_i

都加

1

，可在这些表达式与从

0

到

3^8 - 1

的

3

进制数之间建立双射，所以恰有

3^8 = 6561

个不同整数出现。它们关于

0

对称（把所有

a_i

取相反数会使数值取相反数），所以除了

0

本身外，一半为正。非负整数的个数为

1 + \tfrac12(6561 - 1) = 3281

即从

0

到

3280

的所有整数。

所以正确答案是 D。

Adding

1

to every

a_i

gives a bijection between these expressions and the base-

3

numerals for

0

through

3^8 - 1,

so exactly

3^8 = 6561

distinct integers occur. They are symmetric about

0

(negating all

a_i

negates the value), so besides

0

itself, half are positive:

1 + \tfrac12(6561 - 1) = 3281

nonnegative integers, namely

0