2017 AMC 12A 第 7 题

Question

在正整数上递归定义函数：

f(1)=2

，当

n

为偶数时

f(n)=f(n-1)+1

，当

n

为大于

1

的奇数时

f(n)=f(n-2)+2

。

f(2017)

是多少？

Define a function on the positive integers recursively by

f(1)=2,

f(n)=f(n-1)+1

if

n

is even, and

f(n)=f(n-2)+2

if

n

is odd and greater than

1.

What is

f(2017)?

2017

2018

4034

4035

4036

答案：B

知识点：递推找规律

难度评级：1380

小提示：

计算

f(1),f(2),f(3),\ldots

，寻找规律

Compute

f(1),f(2),f(3),\ldots

and look for a pattern

大提示：

验证

f(n)=n+1

同时满足两条递推规则

Check that

f(n)=n+1

satisfies both recursive rules

解答：

列出数值：

f(1)=2

，

f(2)=f(1)+1=3

，

f(3)=f(1)+2=4

，

f(4)=f(3)+1=5

，这说明可能有

f(n)=n+1

。

两条规则都与

f(n)=n+1

一致：当

n

为偶数时，

(n-1)+1+1=n+1

；当

n

为奇数时，

(n-2)+1+2=n+1

。由于递归唯一确定

f

，所以

f(2017)=2018

。

所以正确答案是 B。

Listing values:

f(1)=2,

f(2)=f(1)+1=3,

f(3)=f(1)+2=4,

f(4)=f(3)+1=5,

suggesting

f(n)=n+1.

Both rules are consistent with

f(n)=n+1:

for even

n,

(n-1)+1+1=n+1,

and for odd

n,

(n-2)+1+2=n+1.

Since the recursion determines

f

uniquely,

f(2017)=2018.

Thus, the correct answer is B.

2017 AMC 12A 第 7 题

答案：B

难度评级：1380

小提示：

大提示：

解答：

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