2016 AMC 12A 第 15 题

Question

圆心为

P

、

Q

、

R

、半径分别为

1

、

2

、

3

的三个圆位于直线

l

的同侧，并分别在

P'

、

Q'

、

R'

处与

l

相切，其中

Q'

在

P'

与

R'

之间。圆心为

Q

的圆与另外两个圆都外切。

\triangle PQR

的面积是多少？

Circles with centers

P,

Q,

and

R,

having radii

1,

2,

and

3,

respectively, lie on the same side of line

l

and are tangent to

l

at

P',

Q',

and

R',

respectively, with

Q'

between

P'

and

R'.

The circle with center

Q

is externally tangent to each of the other two circles. What is the area of

\triangle PQR?

0

\sqrt{\dfrac{2}{3}}

1

\sqrt{6}-\sqrt{2}

\sqrt{\dfrac{3}{2}}

答案：D

知识点：相切圆勾股定理鞋带公式

难度评级：1800

小提示：

两个相切圆的切点间水平距离为

\sqrt{(r_1+r_2)^2-(r_2-r_1)^2}

。

The horizontal distance between two tangent points is

\sqrt{(r_1+r_2)^2-(r_2-r_1)^2}

大提示：

把

P,Q,R

放在高度

1,2,3

上，再用鞋带公式。

Place

P,Q,R

at heights

1,2,3

and use the shoelace formula

解答：

三个圆心到直线

l

的高度分别为

1

、

2

、

3

。由于圆

Q

与圆

P

外切，

PQ=3

，所以水平距离为

P'Q'=\sqrt{3^2-1^2}=\sqrt{8}

。同理，圆

Q

与圆

R

外切，

QR=5

，所以

Q'R'=\sqrt{5^2-1^2}=\sqrt{24}

。

取

P=(0,1)

、

Q=(\sqrt8,2)

、

R=(\sqrt8+\sqrt{24},3)

。由鞋带公式，面积为

\begin{gathered} \small \dfrac12\left|\sqrt8(3-1)+(\sqrt8+\sqrt{24})(1-2)\right|\\ =\dfrac12\left(\sqrt{24}-\sqrt8\right)\\ =\sqrt6-\sqrt2 \end{gathered}\text{。}

所以正确答案是 D。

The centers lie at heights

1,

2,

and

3

above line

l.

Since circle

Q

is externally tangent to circle

P,

we have

PQ=3,

so the horizontal distance is

P'Q'=\sqrt{3^2-1^2}=\sqrt{8}.

Since circle

Q

is tangent to circle

R,