Question

圆心为 $P$ 、 $Q$ 、 $R$ 、半径分别为 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 的三个圆位于直线 $l$ 的同侧，并分别在 $P'$ 、 $Q'$ 、 $R'$ 处与 $l$ 相切，其中 $Q'$ 在 $P'$ 与 $R'$ 之间。圆心为 $Q$ 的圆与另外两个圆都外切。 $\triangle PQR$ 的面积是多少？

Circles with centers $P,$ $Q,$ and $R,$ having radii $1,$ $2,$ and $3,$ respectively, lie on the same side of line $l$ and are tangent to $l$ at $P',$ $Q',$ and $R',$ respectively, with $Q'$ between $P'$ and $R'.$ The circle with center $Q$ is externally tangent to each of the other two circles. What is the area of $\triangle PQR?$

$0$

$\sqrt{\dfrac{2}{3}}$

$1$

$\sqrt{6}-\sqrt{2}$

$\sqrt{\dfrac{3}{2}}$

答案：D

知识点：相切圆勾股定理鞋带公式

难度评级：1800

解答：

三个圆心到直线 $l$ 的高度分别为 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 。由于圆 $Q$ 与圆 $P$ 外切， $PQ=3$ ，所以水平距离为 $P'Q'=\sqrt{3^2-1^2}=\sqrt{8}$ 。同理，圆 $Q$ 与圆 $R$ 外切， $QR=5$ ，所以 $Q'R'=\sqrt{5^2-1^2}=\sqrt{24}$ 。

取 $P=(0,1)$ 、 $Q=(\sqrt8,2)$ 、 $R=(\sqrt8+\sqrt{24},3)$ 。由鞋带公式，面积为 $\begin{gathered} \small \dfrac12\left|\sqrt8(3-1)+(\sqrt8+\sqrt{24})(1-2)\right|\\ =\dfrac12\left(\sqrt{24}-\sqrt8\right)\\ =\sqrt6-\sqrt2. \end{gathered}$

所以正确答案是 D。

The centers lie at heights $1,$ $2,$ and $3$ above line $l.$ Since circle $Q$ is externally tangent to circle $P,$ we have $PQ=3,$ so the horizontal distance is $P'Q'=\sqrt{3^2-1^2}=\sqrt{8}.$ Since circle $Q$ is tangent to circle $R,$ we have $QR=5,$ so $Q'R'=\sqrt{5^2-1^2}=\sqrt{24}.$

Place $P=(0,1),$ $Q=(\sqrt8,2),$ and $R=(\sqrt8+\sqrt{24},3).$ By the shoelace formula, the area is $\begin{gathered} \small \dfrac12\left|\sqrt8(3-1)+(\sqrt8+\sqrt{24})(1-2)\right|\\ =\dfrac12\left(\sqrt{24}-\sqrt8\right)\\ =\sqrt6-\sqrt2. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is D.

2016 AMC 12A 第 15 题

答案：D

难度评级：1800

解答：

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