Question

有多少个正整数 $n$ 使得 $\dfrac{n}{30-n}$ 也是正整数？

For how many positive integers $n$ is $\dfrac{n}{30-n}$ also a positive integer?

$4$

$5$

$6$

$7$

$8$

写成 $\dfrac{n}{30-n} = \dfrac{30}{30-n} - 1.$

要使它为正整数， $30-n$ 必须是 $30$ 的正因数，并且 $\dfrac{30}{30-n} \ge 2$ ，即 $30-n \le 15$ 。

$30$ 的不超过 $15$ 的因数为 $1, 2, 3, 5, 6, 10, 15$ ，给出 $7$ 个 $n$ 的值（即 $15, 20, 24, 25, 27, 28, 29$ ）。

所以正确答案是 D。

Write $\dfrac{n}{30-n} = \dfrac{30}{30-n} - 1.$

For this to be a positive integer, $30-n$ must be a positive divisor of $30$ with $\dfrac{30}{30-n} \ge 2,$ i.e. $30-n \le 15.$

The divisors of $30$ that are at most $15$ are $1, 2, 3, 5, 6, 10, 15,$ giving $7$ values of $n$ (namely $15, 20, 24, 25, 27, 28, 29$ ).

Thus, the correct answer is D.