2014 AMC 12B 第 7 题

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7.

有多少个正整数

n

使得

\dfrac{n}{30-n}

也是正整数？

For how many positive integers

n

is

\dfrac{n}{30-n}

also a positive integer?

4

5

6

7

8

答案：D

知识点：整除性因数代数变形

难度评级：1520

小提示：

改写

\dfrac{n}{30-n} = \dfrac{30}{30-n} - 1

。

Rewrite

\dfrac{n}{30-n} = \dfrac{30}{30-n} - 1

大提示：

因此

30-n

必须是

30

的正因数，且商至少为

2

。

So

30-n

must be a positive divisor of

30,

and the quotient must be at least

2

解答：

写成

\dfrac{n}{30-n} = \dfrac{30}{30-n} - 1\text{。}

要使它为正整数，

30-n

必须是

30

的正因数，并且

\dfrac{30}{30-n} \ge 2

，即

30-n \le 15

。

30

的不超过

15

的因数为

1, 2, 3, 5, 6, 10, 15

，给出

7

个

n

的值（即

15, 20, 24, 25, 27, 28, 29

）。

所以正确答案是 D。

Write

\dfrac{n}{30-n} = \dfrac{30}{30-n} - 1.

For this to be a positive integer,

30-n

must be a positive divisor of

30

with

\dfrac{30}{30-n} \ge 2,

i.e.

30-n \le 15.

The divisors of

30

that are at most

15

are

1, 2, 3, 5, 6, 10, 15,

giving

7

values of

n

(namely

15, 20, 24, 25, 27, 28, 29

).

Thus, the correct answer is D.

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