Question

一个由 $11$ 个正整数组成的列表，平均数为 $10$ ，中位数为 $9$ ，且唯一众数为 $8$ 。这个列表中整数的最大可能值是多少？

A list of $11$ positive integers has a mean of $10,$ a median of $9,$ and a unique mode of $8.$ What is the largest possible value of an integer in the list?

$24$

$30$

$31$

$33$

$35$

答案：E

知识点：平均数中位数（数据）众数最优化

难度评级：1690

解答：

列表总和为 $11 \cdot 10 = 110$ 。要最大化一个数，应最小化另外十个数的和。

排序后，第六个数必须是 $9$ （中位数），且 $8$ 出现次数必须比其他任何值都多。让 $8$ 出现三次时，最小可能的十个数为它们的和为 $75$ ，并且仍使 $8$ 是唯一众数。 $1,1,8,8,8,9,9,10,10,11,$

最大项于是为 $110 - 75 = 35$ 。

所以正确答案是 E。

The list sums to $11 \cdot 10 = 110.$ To maximize one entry, minimize the sum of the other ten.

Sorted, the sixth number must be $9$ (the median), and $8$ must appear more often than any other value. Trying $8$ three times, the smallest possible ten numbers are $1,1,8,8,8,9,9,10,10,11,$ which sum to $75$ and keep $8$ the unique mode.

The largest entry is then $110 - 75 = 35.$

Thus, the correct answer is E.

2014 AMC 12B 第 11 题

答案：E

难度评级：1690

解答：

其他年份的第 11 题