2013 AMC 12A 第 13 题

Question

设点

A = (0, 0)

，

B = (1, 2)

，

C = (3, 3)

，和

D = (4, 0)

。一条经过

A

的直线把四边形

ABCD

分成面积相等的两部分。该直线与

\overline{CD}

交于点

\left(\dfrac{p}{q}, \dfrac{r}{s}\right)

，其中这些分数均为最简形式。

p + q + r + s

是多少？

Let points

A = (0, 0),

B = (1, 2),

C = (3, 3),

and

D = (4, 0).

Quadrilateral

ABCD

is cut into equal area pieces by a line passing through

A.

This line intersects

\overline{CD}

at point

\left(\dfrac{p}{q}, \dfrac{r}{s}\right),

where these fractions are in lowest terms. What is

p + q + r + s?

54

58

62

70

75

答案：B

知识点：鞋带公式坐标几何三角形面积

难度评级：1740

小提示：

求出

ABCD

的面积；这条分割线与底边

AD

构成一个面积为一半的三角形

Find the area of

ABCD;

the cutting line makes a triangle on base

AD

with half that area

大提示：

底边

AD = 4

，该三角形的高就是

CD

上交点的

y

坐标

With base

AD = 4,

the triangle’s height is the

y

-coordinate of the point on

CD

解答：

由鞋带公式，

ABCD

的面积为

\tfrac{15}{2}

。设直线与

\overline{CD}

交于

G

。三角形

ADG

的面积必须为

\tfrac{15}{4}

。

因为

AD = 4

在

x

轴上，

\tfrac12\cdot 4\cdot y_G = \tfrac{15}{4}

给出

y_G = \tfrac{15}{8}

。直线

CD

为

y = -3(x - 4)

，所以

x_G = \tfrac{27}{8}

。

于是

p + q + r + s

= 27 + 8 + 15 + 8

= 58

。

因此，正确答案是 B。

By the shoelace formula, the area of

ABCD

is

\tfrac{15}{2}.

Let the line meet

\overline{CD}

at

G.

Triangle

ADG

must have area

\tfrac{15}{4}.

Since

AD = 4

lies on the

x

-axis,

\tfrac12\cdot 4\cdot y_G = \tfrac{15}{4}

gives

y_G = \tfrac{15}{8}.

Line

CD

is

y = -3(x - 4),

so

x_G = \tfrac{27}{8}.

Then

p + q + r + s

= 27 + 8 + 15 + 8

= 58.

Thus, the correct answer is B.

2013 AMC 12A 第 13 题

答案：B

难度评级：1740

小提示：

大提示：

解答：

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