2012 AMC 12B 第 13 题

Question

两条抛物线的方程为

y = x^2 + ax + b

和

y = x^2 + cx + d

，其中

a

，

b

，

c

，和

d

是整数（不一定互不相同），每个都通过掷一枚公平的六面骰子独立选出。两条抛物线至少有一个公共点的概率是多少？

Two parabolas have equations

y = x^2 + ax + b

and

y = x^2 + cx + d,

where

a,

b,

c,

and

d

are integers (not necessarily different), each chosen independently by rolling a fair six-sided die. What is the probability that the parabolas have at least one point in common?

\dfrac{1}{2}

\dfrac{25}{36}

\dfrac{5}{6}

\dfrac{31}{36}

1

答案：D

知识点：基本概率补集计数骰子（概率）

难度评级：1590

小提示：

令两个右边相等，

x^2

项会抵消，留下

ax+b=cx+d

Setting the two right sides equal, the

x^2

terms cancel, leaving

ax+b=cx+d

大提示：

没有公共点恰好发生在

a=c

且

b\neq d

时；求出这个概率再用

1

减去

There is no common point exactly when

a=c

and

b\neq d;

find that probability and subtract from

1

解答：

抛物线相交处满足

x^2+ax+b=x^2+cx+d

，即

ax+b=cx+d

。这个方程无解，恰好发生在两条直线平行且不重合的时候，也就是

a=c

且

b\neq d

。

a=c

的概率是

\tfrac16

，且

b\neq d

的概率是

\tfrac56

，所以没有公共点的概率为

\tfrac16\cdot\tfrac56=\tfrac5{36}

。

至少有一个公共点的概率为

1-\tfrac5{36}=\tfrac{31}{36}

。

因此正确答案是 D。

The parabolas meet where

x^2+ax+b=x^2+cx+d,

i.e.

ax+b=cx+d.

This has no solution exactly when the lines are parallel and distinct:

a=c

and

b\neq d.

The probability that

a=c

is

\tfrac16,

and the probability that

b\neq d

is

\tfrac56,

so the probability of no common point is

\tfrac16\cdot\tfrac56=\tfrac5{36}.

The probability of at least one common point is

1-\tfrac5{36}=\tfrac{31}{36}.

Thus, the correct answer is D.

2012 AMC 12B 第 13 题

答案：D

难度评级：1590

小提示：

大提示：

解答：

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