Question

有多少个长度为 $20$ 的由零和/或一组成的序列满足：所有零连续，或者所有一连续，或者两者都满足？

How many sequences of zeros and/or ones of length $20$ have all the zeros consecutive, or all the ones consecutive, or both?

$190$

$192$

$211$

$380$

$382$

答案：E

知识点：容斥原理组合

难度评级：1660

解答：

设 $A$ 为所有零连续的序列， $B$ 为所有一连续的序列。

对于 $A$ ，有一个全是一的序列， $20$ 个恰有一个零的序列，以及 $\binom{20}{2}=190$ 个含有至少两个零的序列（选择第一个和最后一个零的位置）。所以 $|A|=1+20+190=211$ ，由对称性 $|B|=211$ 。

$A\cap B$ 中的序列是一个零的块后接一个一的块，或顺序相反；这样的序列有 $|A\cap B|=40$ 个。

因此 $|A\cup B|=211+211-40$ $=382$ 。

因此正确答案是 E。

Let $A$ be the sequences in which all zeros are consecutive and $B$ those in which all ones are consecutive.

For $A,$ there is one all-ones sequence, $20$ sequences with exactly one zero, and $\binom{20}{2}=190$ sequences with two or more zeros (choose the first and last zero position). So $|A|=1+20+190=211,$ and by symmetry $|B|=211.$

A sequence in $A\cap B$ is a block of zeros followed by a block of ones, or the reverse; there are $|A\cap B|=40$ of these.

Therefore $|A\cup B|=211+211-40$ $=382.$

Thus, the correct answer is E.

2012 AMC 12B 第 12 题

答案：E

难度评级：1660

解答：

其他年份的第 12 题