2011 AMC 12B 第 13 题

Question

Brian 写下四个整数

w \gt x \gt y \gt z

，它们的和是

44

。这些数两两之间的正差为

1

，

3

，

4

，

5

，

6

和

9

。

w

的所有可能值之和是多少？

Brian writes down four integers

w \gt x \gt y \gt z

whose sum is

44.

The pairwise positive differences of these numbers are

1,

3,

4,

5,

6,

and

9.

What is the sum of the possible values for

w?

16

31

48

62

93

答案：B

知识点：方程组分类讨论

难度评级：1610

小提示：

最大差为

w-z=9

，而最小的正差必须是

x-y=1

。

The largest difference is

w-z=9,

and the smallest positive difference must be

x-y=1

大提示：

第二大的差

6

可能是

w-y

或

x-z

；分别讨论。

The second largest difference

6

is either

w-y

or

x-z

; handle each case

解答：

最大差为

w-z=9

。对任意一个中间数

n

，都有

9=(w-n)+(n-z)

。所列差值中，和为

9

的数对只有

3+6

和

4+5

，所以剩下的差必为

x-y=1

。

第二大的差

6

只能是

w-y

或

x-z

。若

w-y=6

，四个数是

\{w,w-5,w-6,w-9\}

，所以

4w-20=44

，得到

w=16

。若

x-z=6

，四个数是

\{w,w-3,w-4,w-9\}

，所以

4w-16=44

，得到

w=15

。

可能的值是

16

和

15

，它们的和为

31

。

因此，正确答案是 B。

The largest difference is

w-z=9.

For either interior number

n,

we have

9=(w-n)+(n-z).

The only pairs among the listed differences that sum to

9

are

3+6

and

4+5,

so the remaining difference must be

x-y=1.

The second largest difference

6

is either

w-y

or

x-z.

If

w-y=6,

the numbers are

\{w,w-5,w-6,w-9\},

so

4w-20=44

and

w=16.

If

x-z=6,

the numbers are

\{w,w-3,w-4,w-9\},

so

4w-16=44

and

w=15.

The possible values are

16

and

15,

which sum to

31.

Thus, the correct answer is B.

2011 AMC 12B 第 13 题

答案：B

难度评级：1610

小提示：

大提示：

解答：

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