Question

Brian 写下四个整数 $w \gt x \gt y \gt z$ ，它们的和是 $44$ 。这些数两两之间的正差为 $1, 3, 4, 5, 6$ 和 $9$ 。 $w$ 的所有可能值之和是多少？

Brian writes down four integers $w \gt x \gt y \gt z$ whose sum is $44.$ The pairwise positive differences of these numbers are $1, 3, 4, 5, 6,$ and $9.$ What is the sum of the possible values for $w?$

$16$

$31$

$48$

$62$

$93$

答案：B

知识点：方程组分类讨论

难度评级：1610

解答：

最大差为 $w-z=9.$ 对任意一个中间数 $n,$ 都有 $9=(w-n)+(n-z).$ 所列差值中，和为 $9$ 的数对只有 $3+6$ 和 $4+5,$ 所以剩下的差必为 $x-y=1.$

第二大的差 $6$ 只能是 $w-y$ 或 $x-z.$ 若 $w-y=6,$ 四个数是 $\{w,w-5,w-6,w-9\},$ 所以 $4w-20=44$ ，得到 $w=16.$ 若 $x-z=6,$ 四个数是 $\{w,w-3,w-4,w-9\},$ 所以 $4w-16=44$ ，得到 $w=15.$

可能的值是 $16$ 和 $15,$ 它们的和为 $31.$

因此，正确答案是 B。

The largest difference is $w-z=9.$ For either interior number $n,$ we have $9=(w-n)+(n-z).$ The only pairs among the listed differences that sum to $9$ are $3+6$ and $4+5,$ so the remaining difference must be $x-y=1.$

The second largest difference $6$ is either $w-y$ or $x-z.$ If $w-y=6,$ the numbers are $\{w,w-5,w-6,w-9\},$ so $4w-20=44$ and $w=16.$ If $x-z=6,$ the numbers are $\{w,w-3,w-4,w-9\},$ so $4w-16=44$ and $w=15.$

The possible values are $16$ and $15,$ which sum to $31.$

Thus, the correct answer is B.

2011 AMC 12B 第 13 题

答案：B

难度评级：1610

解答：

其他年份的第 13 题