2010 AMC 12A 第 13 题

Question

对多少个整数

k

，图像

x^2+y^2=k^2

与

xy=k

不相交？

For how many integer values of

k

do the graphs of

x^2+y^2=k^2

and

xy=k

not intersect?

0

1

2

4

8

答案：C

知识点：圆双曲线分类讨论

难度评级：1590

小提示：

当

k\ne0

时，

x^2+y^2=k^2

是半径为

|k|

的圆，而

xy=k

是双曲线。

For

k\ne0,

x^2+y^2=k^2

is a circle of radius

|k|

and

xy=k

is a hyperbola

大提示：

双曲线上离原点最近的点到原点距离为

\sqrt{2|k|}

；把它与半径

|k|

比较。

The hyperbola’s points closest to the origin are at distance

\sqrt{2|k|};

compare with the radius

|k|

解答：

当

k=0

时，

x^2+y^2=0

的图像是单点

(0,0)

，而

xy=0

是两条坐标轴，它们在原点相交。

当

k\ne0

时，圆的半径为

|k|

，双曲线

xy=k

离原点最近的两个顶点到原点距离为

\sqrt{2|k|}

。两图像相交当且仅当

|k|\ge\sqrt{2|k|}

，即

|k|\ge2

。

所以只有

|k|=1

时两图像不相交，也就是

k=1

和

k=-1

，共有

2

个值。

因此 C 是正确答案。

For

k=0,

the graph of

x^2+y^2=0

is the single point

(0,0)

and

xy=0

is the two axes, which meet at the origin, so the graphs intersect.

For

k\ne0,

the circle has radius

|k|,

and the hyperbola

xy=k

has its two vertices nearest the origin at distance

\sqrt{2|k|}.

The graphs meet exactly when

|k|\ge\sqrt{2|k|},

that is

|k|\ge2.

So they fail to intersect only when

|k|=1,

namely

k=1

and

k=-1,

giving

2

values.

Thus, C is the correct answer.

2010 AMC 12A 第 13 题

答案：C

难度评级：1590

小提示：

大提示：

解答：

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