Question

点 $A$ 和 $B$ 在以 $O$ 为圆心的圆上，且 $\angle AOB = 60^\circ$ 。第二个圆内切于第一个圆，并与 $OA$ 和 $OB$ 都相切。小圆面积与大圆面积之比是多少？

Points $A$ and $B$ lie on a circle centered at $O,$ and $\angle AOB = 60^\circ.$ A second circle is internally tangent to the first and tangent to both $OA$ and $OB.$ What is the ratio of the area of the smaller circle to that of the larger circle?

$\dfrac{1}{16}$

$\dfrac{1}{9}$

$\dfrac{1}{8}$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{4}$

答案：B

知识点：相切圆特殊直角三角形面积比

难度评级：1620

解答：

设小圆和大圆半径分别为 $r$ 和 $R$ ，小圆圆心为 $E$ 。由对称性， $E$ 在 $\angle AOB$ 的角平分线上，所以 $OE$ 与 $OA$ 成 $30^\circ$ 。

作半径 $ED$ 垂直于 $OA$ ，得到 $30$ - $60$ - $90$ 三角形，所以 $OE = 2 \cdot ED = 2r$ 。两圆内切还给出 $OE = R - r$ 。

于是 $R - r = 2r$ ，所以 $R = 3r$ ， $\tfrac{r}{R} = \tfrac{1}{3}$ 。 $\left(\dfrac{1}{3}\right)^2 = \dfrac{1}{9}.$

所以正确答案是 B。

Let $r$ and $R$ be the radii of the smaller and larger circles, and let $E$ be the center of the smaller circle. By symmetry $E$ lies on the bisector of $\angle AOB,$ so $OE$ makes a $30^\circ$ angle with $OA.$

Dropping the radius $ED$ perpendicular to $OA$ gives a $30$ - $60$ - $90$ triangle with $OE = 2 \cdot ED = 2r.$ Since the circles are internally tangent, $OE = R - r.$

Then $R - r = 2r,$ so $R = 3r$ and $\tfrac{r}{R} = \tfrac{1}{3}.$ The ratio of areas is $\left(\dfrac{1}{3}\right)^2 = \dfrac{1}{9}.$

Thus, B is the correct answer.

2008 AMC 12A 第 13 题

答案：B

难度评级：1620

解答：

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