Question

菱形 $ABCD$ 与菱形 $BFDE$ 相似。菱形 $ABCD$ 的面积为 $24$ ，且 $\angle BAD = 60^\circ$ 。菱形 $BFDE$ 的面积是多少？

Rhombus $ABCD$ is similar to rhombus $BFDE.$ The area of rhombus $ABCD$ is $24,$ and $\angle BAD = 60^\circ.$ What is the area of rhombus $BFDE?$

$6$

$4\sqrt{3}$

$8$

$9$

$6\sqrt{3}$

答案：C

知识点：菱形等边三角形面积分割

难度评级：1660

解答：

因为 $O$ 且 $\angle BAD=60^\circ$ ，三角形 $ABO$ 是等边三角形。对角线 $30^\circ$ 和 $60^\circ$ ，连同线段 $90^\circ$ 、 $AO=\sqrt3\,BO$ ，把 $ABCD$ 分成六个全等三角形。

每个小三角形的面积为 $BD$ 。菱形 $BFDE$ 由 $ABCD$ 和 $BD/AC=BO/AO=1/\sqrt3$ 这两个小三角形组成，所以面积为 $BFDE$ 。 $24\cdot\dfrac13=8$ 。

因此，正确答案是 C。

Let the diagonals of $ABCD$ meet at $O.$ They bisect each other at right angles, and since $\angle BAD=60^\circ,$ triangle $ABO$ is a $30^\circ$ – $60^\circ$ – $90^\circ$ triangle. Hence the half-diagonals satisfy $AO=\sqrt3\,BO.$

The segment $BD$ is the short diagonal of $ABCD$ and the long diagonal of the similar rhombus $BFDE.$ Thus the smaller-to-larger length ratio is $BD/AC=BO/AO=1/\sqrt3.$ Areas scale by the square of this ratio, so the area of $BFDE$ is $24\cdot\dfrac13=8.$

Thus, the correct answer is C.

2006 AMC 12B 第 13 题

答案：C

难度评级：1660

解答：

其他年份的第 13 题