Question

设 $AB$ 是一个圆的直径， $C$ 是 $AB$ 上一点，且 $2 \cdot AC = BC$ 。设 $D$ 、 $E$ 在圆上，使 $DC \perp AB$ ，且 $DE$ 是另一条直径。求 $\triangle DCE$ 的面积与 $\triangle ABD$ 的面积之比。

Let $AB$ be a diameter of a circle and $C$ be a point on $AB$ with $2 \cdot AC = BC.$ Let $D$ and $E$ be points on the circle such that $DC \perp AB$ and $DE$ is a second diameter. What is the ratio of the area of $\triangle DCE$ to the area of $\triangle ABD?$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{2}{3}$

答案：C

知识点：圆面积比中点

难度评级：1770

解答：

设 $O$ 为圆心。由 $2 \cdot AC = BC$ 可知 $AC = \dfrac{AB}{3}$ ，又有 $AO = \dfrac{AB}{2}$ ，所以 $\begin{aligned} &CO = AO - AC \\ &= \dfrac{AB}{2} - \dfrac{AB}{3} \\ &= \dfrac{AB}{6}. \end{aligned}$

三角形 $DCO$ 与三角形 $DAB$ 共享从 $D$ 到直线 $AB$ 的高，因此 $\dfrac{[DCO]}{[DAB]} = \dfrac{CO}{AB} = \dfrac{1}{6}.$

因为 $O$ 是 $DE$ 的中点，三角形 $DCO$ 与 $ECO$ 面积相等，所以 $\begin{aligned} &[DCE] = 2\,[DCO] \\ &= \dfrac{2}{6}[DAB] = \dfrac{1}{3}[DAB]. \end{aligned}$

所以正确答案是 C。

Let $O$ be the center. Since $2 \cdot AC = BC,$ we have $AC = \dfrac{AB}{3},$ and $AO = \dfrac{AB}{2},$ so $\begin{aligned} &CO = AO - AC \\ &= \dfrac{AB}{2} - \dfrac{AB}{3} \\ &= \dfrac{AB}{6}. \end{aligned}$

Triangles $DCO$ and $DAB$ share the same altitude from $D$ to line $AB,$ so $\dfrac{[DCO]}{[DAB]} = \dfrac{CO}{AB} = \dfrac{1}{6}.$

Because $O$ is the midpoint of $DE,$ triangles $DCO$ and $ECO$ have equal areas, so $\begin{aligned} &[DCE] = 2\,[DCO] \\ &= \dfrac{2}{6}[DAB] = \dfrac{1}{3}[DAB]. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is C.

2005 AMC 12A 第 15 题

答案：C

难度评级：1770

解答：

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