2005 AMC 12A 第 15 题

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15.

设

AB

是一个圆的直径，

C

是

AB

上一点，且

2 \cdot AC = BC

。设

D

、

E

在圆上，使

DC \perp AB

，且

DE

是另一条直径。求

\triangle DCE

的面积与

\triangle ABD

的面积之比。

Let

AB

be a diameter of a circle and

C

be a point on

AB

with

2 \cdot AC = BC.

Let

D

and

E

be points on the circle such that

DC \perp AB

and

DE

is a second diameter. What is the ratio of the area of

\triangle DCE

to the area of

\triangle ABD?

\dfrac{1}{6}

\dfrac{1}{4}

\dfrac{1}{3}

\dfrac{1}{2}

\dfrac{2}{3}

答案：C

知识点：圆面积比中点

难度评级：1770

小提示：

设

O

为圆心。因为

AC = \dfrac{AB}{3}

且

AO = \dfrac{AB}{2}

，求出

CO

。

Let

O

be the center. Since

AC = \dfrac{AB}{3}

and

AO = \dfrac{AB}{2},

find

CO

大提示：

\triangle DCO

和

\triangle ECO

面积相等，因为

O

是

DE

的中点。

\triangle DCO

and

\triangle ECO

have equal areas because

O

is the midpoint of

DE

解答：

设

O

为圆心。由

2 \cdot AC = BC

可知

AC = \dfrac{AB}{3}

，又有

AO = \dfrac{AB}{2}

，所以

\begin{aligned} &CO = AO - AC \\ &= \dfrac{AB}{2} - \dfrac{AB}{3} \\ &= \dfrac{AB}{6} \end{aligned}\text{。}

三角形

DCO

与三角形

DAB

共享从

D

到直线

AB

的高，因此

\dfrac{[DCO]}{[DAB]} = \dfrac{CO}{AB} = \dfrac{1}{6}\text{。}

因为

O

是

DE

的中点，三角形

DCO

与

ECO

面积相等，所以

\begin{aligned} &[DCE] = 2\,[DCO] \\ &= \dfrac{2}{6}[DAB] = \dfrac{1}{3}[DAB] \end{aligned}\text{。}

所以正确答案是 C。

Let

O

be the center. Since

2 \cdot AC = BC,

we have

AC = \dfrac{AB}{3},

and

AO = \dfrac{AB}{2},

so

\begin{aligned} &CO = AO - AC \\ &= \dfrac{AB}{2} - \dfrac{AB}{3} \\ &= \dfrac{AB}{6}. \end{aligned}

Triangles

DCO

and

DAB

share the same altitude from

D

to line

AB,

so

\dfrac{[DCO]}{[DAB]} = \dfrac{CO}{AB} = \dfrac{1}{6}.

Because

O

is the midpoint of

DE,

triangles

DCO

and

ECO

have equal areas, so

\begin{aligned} &[DCE] = 2\,[DCO] \\ &= \dfrac{2}{6}[DAB] = \dfrac{1}{3}[DAB]. \end{aligned}

Thus, the correct answer is C.

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