2004 AMC 12B 第 12 题

Question

在数列

2001

，

2002

，

2003

，

\ldots

中，从第四项起，每一项等于前两项之和减去前一项。例如第四项为

2001 + 2002 - 2003 = 2000

。这个数列的第

2004

项是多少？

In the sequence

2001,

2002,

2003,

\ldots,

each term after the third is found by subtracting the previous term from the sum of the two terms that precede that term. For example, the fourth term is

2001 + 2002 - 2003 = 2000.

What is the

2004

th term in this sequence?

-2004

-2

0

4003

6007

答案：C

知识点：递推等差数列找规律

难度评级：1500

小提示：

写出若干项来寻找规律。

Write out several terms to spot a pattern

大提示：

偶数项

2002, 2000, 1998, \ldots

构成等差数列。

The even-indexed terms

2002, 2000, 1998, \ldots

form an arithmetic progression

解答：

递推给出

2001

、

2002

、

2003

、

2000

、

2005

、

1998, \ldots

。偶数项为

2002, 2000, 1998, \ldots

，每次减少

2

。

更确切地说，用归纳法可以验证

a_{2k} = 2004 - 2k

且

a_{2k+1} = 2001 + 2k

。因此

\begin{aligned} a_{2004} &= a_{2\cdot1002} \\ &= 2004 - 2(1002) = 0 \end{aligned}\text{。}

因此正确答案是 C。

The rule gives

2001,

2002,

2003,

2000,

2005,

1998, \ldots

The even-indexed terms are

2002, 2000, 1998, \ldots,

decreasing by

2.

More precisely, the recurrence verifies inductively that

a_{2k} = 2004 - 2k

and

a_{2k+1} = 2001 + 2k.

Therefore

\begin{aligned} a_{2004} &= a_{2\cdot1002} \\ &= 2004 - 2(1002) = 0. \end{aligned}

Thus, the correct answer is C.

2004 AMC 12B 第 12 题

答案：C

难度评级：1500

小提示：

大提示：

解答：

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