2002 AMC 12B 第 7 题

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7.

三个连续正整数的乘积等于它们的和的

8

倍。它们的平方和是多少？

The product of three consecutive positive integers is

8

times their sum. What is the sum of their squares?

50

77

110

149

194

答案：B

知识点：二次方程代数变形

难度评级：1190

小提示：

设三个整数为

n-1

，

n

，

n+1

；它们的乘积是

n^3-n

，和是

3n

。

Call the integers

n-1,

n,

n+1

; their product is

n^3-n

and their sum is

3n

大提示：

n^2-1=24

，先求

n

，再计算

(n-1)^2+n^2+(n+1)^2

。

n^2-1=24,

so find

n

and then compute

(n-1)^2+n^2+(n+1)^2

解答：

设三个整数为

n-1

、

n

、

n+1

。由条件可得

(n-1)n(n+1)=8\cdot3n

，所以

n^2-1=24

，进而

n=5

。

三个整数是

4

、

5

、

6

，平方和为

16+25+36=77

。

所以正确答案是 B。

Let the integers be

n-1,

n,

n+1.

Then

(n-1)n(n+1)=8\cdot3n,

so

n^2-1=24

and

n=5.

The three integers

4,

5,

6

have squares summing to

16+25+36=77.

Thus, the correct answer is B.

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