Question

三个连续正整数的乘积等于它们的和的 $8$ 倍。它们的平方和是多少？

The product of three consecutive positive integers is $8$ times their sum. What is the sum of their squares?

$50$

$77$

$110$

$149$

$194$

设三个整数为 $n-1$ 、 $n$ 、 $n+1$ 。由条件可得 $(n-1)n(n+1)=8\cdot3n$ ，所以 $n^2-1=24$ ，进而 $n=5$ 。

三个整数是 $4$ 、 $5$ 、 $6$ ，平方和为 $16+25+36=77$ 。

所以正确答案是 B。

Let the integers be $n-1,$ $n,$ $n+1.$ Then $(n-1)n(n+1)=8\cdot3n,$ so $n^2-1=24$ and $n=5.$

The three integers $4,$ $5,$ $6$ have squares summing to $16+25+36=77.$

Thus, the correct answer is B.