1999 AMC 12 第 13 题

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13.

定义实数列

a_1

，

a_2

，

a_3

，

\ldots

，其中

a_1 = 1

，且对所有

n \ge 1

有

a_{n+1}^3 = 99 a_n^3

。则

a_{100}

等于

Define a sequence of real numbers

a_1,

a_2,

a_3,

\ldots

by

a_1 = 1

and

a_{n+1}^3 = 99 a_n^3

for all

n \ge 1.

Then

a_{100}

equals

33^{33}

33^{99}

99^{33}

99^{99}

以上都不是

none of these

答案：C

知识点：等比数列指数

难度评级：1420

小提示：

取立方根可得

a_{n+1} = \sqrt[3]{99}\, a_n

Take cube roots:

a_{n+1} = \sqrt[3]{99}\, a_n

大提示：

这是公比为

\sqrt[3]{99}

的等比数列，所以

a_{100} = (\sqrt[3]{99})^{99}

This is geometric with ratio

\sqrt[3]{99},

so

a_{100} = (\sqrt[3]{99})^{99}

解答：

取立方根得

a_{n+1} = \sqrt[3]{99}\, a_n

，因此该数列首项为

1

，公比为

\sqrt[3]{99}

。

a_{100} = \left(\sqrt[3]{99}\right)^{99} = 99^{33}\text{。}

所以正确答案是 C。

Taking cube roots,

a_{n+1} = \sqrt[3]{99}\, a_n,

so the sequence is geometric with first term

1

and ratio

\sqrt[3]{99}.

Then

a_{100} = \left(\sqrt[3]{99}\right)^{99} = 99^{33}.

Thus, the correct answer is C.

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