1993 AMC 12 第 13 题

Question

一个周长为

20

的正方形内接于一个周长为

28

的正方形。内正方形的一个顶点与外正方形的一个顶点之间的最大距离是多少？

A square of perimeter

20

is inscribed in a square of perimeter

28.

What is the greatest distance between a vertex of the inner square and a vertex of the outer square?

\sqrt{58}

\frac{7\sqrt5}{2}

8

\sqrt{65}

5\sqrt3

答案：D

知识点：inscribed square Pythagorean theorem distance

难度评级：1730

小提示：

内正方形的一个顶点将外正方形的一条边分成长为

x

和

y

的两段。

A vertex of the inner square divides an outer side into lengths

x

and

y

大提示：

使用

x+y=7

和

x^2+y^2=25

。

Use

x+y=7

and

x^2+y^2=25

解答：

外、内正方形的边长分别为

7

和

5

。在任意一个内正方形顶点处，外正方形一条边被分成长度为

x

和

y

的两段，且

x+y=7,\qquad x^2+y^2=25\text{。}

因此

2xy=49-25=24

，所以

\{x,y\}=\{3,4\}

。从位于一条边上的内正方形顶点到较远的对面外正方形顶点，水平位移为

4

，竖直位移为

7

。所以最大距离为

\sqrt{4^2+7^2}=\sqrt{65}

。故正确答案是 D。

The outer and inner side lengths are

7

and

5.

At any inner vertex, the two pieces of the outer side have lengths

x

and

y

with

x+y=7,\qquad x^2+y^2=25.

Hence

2xy=49-25=24,

so

\{x,y\}=\{3,4\}.

From an inner vertex on one side, the farther opposite outer vertex has horizontal displacement

4

and vertical displacement

7.

The greatest distance is therefore

\sqrt{4^2+7^2}=\sqrt{65}.

Thus the correct answer is D.

1993 AMC 12 第 13 题

答案：D

难度评级：1730

小提示：

大提示：

解答：

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