1988 AMC 12 第 15 题

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15.

若

a

和

b

是整数，且

x^2-x-1

是

ax^3+bx^2+1

的因式，则

b

为

If

a

and

b

are integers such that

x^2-x-1

is a factor of

ax^3+bx^2+1,

then

b

is

-2

-1

0

1

2

答案：A

知识点：polynomial divisibility modular reduction coefficient comparison

难度评级：1760

小提示：

利用

x^2\equiv x+1

对各次幂降次

Reduce powers using

x^2\equiv x+1

大提示：

一个次数低于

2

且能被该二次多项式整除的多项式必为零

A polynomial of degree below

2

divisible by the quadratic must be zero

解答：

模

x^2-x-1

，有

x^2\equiv x+1

，且

x^3\equiv2x+1

。因此，原多项式同余于

(2a+b)x+(a+b+1)

。两个系数都必须为零，所以

2a+b=0

，且

a+b=-1

。因此

a=1

、

b=-2

。

所以正确答案是 A。

Modulo

x^2-x-1,

we have

x^2\equiv x+1

and

x^3\equiv2x+1.

Thus the polynomial is congruent to

(2a+b)x+(a+b+1).

Both coefficients must vanish, so

2a+b=0

and

a+b=-1.

Hence

a=1

and

b=-2.

Thus the correct answer is A.

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