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1978 AMC 12 第 15 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

15.

若 sin⁡x+cos⁡x=15\sin x+\cos x=\frac15，且 0≤x<π0\le x\lt\pi，则 tan⁡x\tan x 为

If sin⁡x+cos⁡x=15\sin x+\cos x=\frac15 and 0≤x<π,0\le x\lt\pi, then tan⁡x\tan x is

−43-\frac43

−34-\frac34

34\frac34

43\frac43

由已知信息无法完全确定

not completely determined by the given information

答案：A
知识点：三角恒等式二次方程分类讨论
难度评级：1650
小提示：

将已知方程两边平方，以求出 sin⁡xcos⁡x\sin x\cos x

Square the given equation to determine sin⁡xcos⁡x\sin x\cos x

大提示：

将 sin⁡x\sin x 和 cos⁡x\cos x 视为一个二次方程的两根，再利用 0≤x<π0\le x\lt\pi

Treat sin⁡x\sin x and cos⁡x\cos x as roots of a quadratic, then use 0≤x<π0\le x\lt\pi

解答：

两边平方得到 1+2sin⁡xcos⁡x=1251+2\sin x\cos x=\frac{1}{25}，所以 sin⁡xcos⁡x=−1225\sin x\cos x=-\frac{12}{25}。因此 sin⁡x\sin x 和 cos⁡x\cos x 是下面这个方程的两根： t2−15t−1225=0， t^2-\frac15t-\frac{12}{25}=0\text{，} 即 45\frac{4}{5} 和 −35-\frac{3}{5}。在给定区间内 sin⁡x≥0\sin x\ge0，故 sin⁡x=45\sin x=\frac{4}{5}，cos⁡x=−35\cos x=-\frac{3}{5}。于是 tan⁡x=−43\tan x=-\frac{4}{3}。

因此，正确答案是 A。

Squaring gives 1+2sin⁡xcos⁡x=125,1+2\sin x\cos x=\frac{1}{25}, so sin⁡xcos⁡x=−1225.\sin x\cos x=-\frac{12}{25}. Thus sin⁡x\sin x and cos⁡x\cos x are the roots of t2−15t−1225=0, t^2-\frac15t-\frac{12}{25}=0, namely 45\frac{4}{5} and −35.-\frac{3}{5}. Because sin⁡x≥0\sin x\ge0 on the given interval, sin⁡x=45\sin x=\frac{4}{5} and cos⁡x=−35.\cos x=-\frac{3}{5}. Hence tan⁡x=−43.\tan x=-\frac{4}{3}.

Therefore, the correct answer is A.

第 14 题#14
完整试卷
第 16 题#16

其他年份的第 15 题

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