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2001 AIME II Problema 6

Intenta el Problema 6 del 2001 AIME II a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2001 AIME II, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

6.

El cuadrado ABCDABCD está inscrito en una circunferencia. El cuadrado EFGHEFGH tiene los vértices EE y FF sobre CD‾\overline{CD} y los vértices GG y HH sobre la circunferencia. La razón entre el área del cuadrado EFGHEFGH y el área del cuadrado ABCDABCD se puede expresar como mn,\frac{m}{n}, donde mm y nn son enteros positivos primos entre sí y m<n.m \lt n. Halla 10n+m.10n + m.

Square ABCDABCD is inscribed in a circle. Square EFGHEFGH has vertices EE and FF on CD‾\overline{CD} and vertices GG and HH on the circle. The ratio of the area of square EFGHEFGH to the area of square ABCDABCD can be expressed as mn,\frac{m}{n}, where mm and nn are relatively prime positive integers and m<n.m \lt n. Find 10n+m.10n + m.

Respuesta: 251
Conceptos:cuadrado (geometría)círculogeometría analíticacuadrática
Nivel de dificultad: 2390
Solución:

Centra la circunferencia en el origen y sea ABCDABCD de lado s,s, de modo que la circunferencia es x2+y2=s22x^2 + y^2 = \frac{s^2}{2} y el lado CD‾\overline{CD} está sobre la recta y=s2.y = \frac{s}{2}. El cuadrado pequeño se apoya sobre CD‾,\overline{CD}, por fuera de ABCD:ABCD: si su lado es t,t, entonces por simetría G=(t2,s2+t),G = \left(\frac{t}{2}, \frac{s}{2} + t\right), que debe estar sobre la circunferencia.

Sustituyendo, t24+(s2+t)2=s22,\frac{t^2}{4} + \left(\frac{s}{2} + t\right)^2 = \frac{s^2}{2}, que se desarrolla como 5t2+4st−s2=0,5t^2 + 4st - s^2 = 0, o (5t−s)(t+s)=0.(5t - s)(t + s) = 0. Como t>0,t \gt 0, obtenemos t=s5.t = \frac{s}{5}.

La razón de áreas es t2s2=125,\frac{t^2}{s^2} = \frac{1}{25}, así que m=1,m = 1, n=25,n = 25, y 10n+m=251.10n + m = 251.

Center the circle at the origin and let ABCDABCD have side s,s, so the circle is x2+y2=s22x^2 + y^2 = \frac{s^2}{2} and side CD‾\overline{CD} lies on the line y=s2.y = \frac{s}{2}. The small square sits on CD‾,\overline{CD}, outside ABCD:ABCD: if its side is t,t, then by symmetry G=(t2,s2+t),G = \left(\frac{t}{2}, \frac{s}{2} + t\right), which must lie on the circle.

Substituting, t24+(s2+t)2=s22,\frac{t^2}{4} + \left(\frac{s}{2} + t\right)^2 = \frac{s^2}{2}, which expands to 5t2+4st−s2=0,5t^2 + 4st - s^2 = 0, or (5t−s)(t+s)=0.(5t - s)(t + s) = 0. Since t>0,t \gt 0, we get t=s5.t = \frac{s}{5}.

The ratio of areas is t2s2=125,\frac{t^2}{s^2} = \frac{1}{25}, so m=1,m = 1, n=25,n = 25, and 10n+m=251.10n + m = 251.

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