Question

Dado un punto

P

en una hoja triangular

ABC,

considera los pliegues que se forman al doblar

A,

B,

y

C

sobre

P.

Llamemos a

P

punto de plegado de

\triangle ABC

si estos pliegues, que son tres salvo cuando

P

es uno de los vértices, no se cortan. Supón que

AB=36,

AC=72,

y

\angle B=90^\circ.

Entonces el área del conjunto de todos los puntos de plegado de

\triangle ABC

puede escribirse como

q\pi-r\sqrt s,

donde

q,

r,

y

s

son enteros positivos y

s

no es divisible por el cuadrado de ningún primo. ¿Cuál es

q+r+s

?

Given a point

P

on a triangular piece of paper

ABC,

consider the creases that are formed in the paper when

A,

B,

and

C

are folded onto

P.

Let us call

P

a fold point of

\triangle ABC

if these creases, which number three unless

P

is one of the vertices, do not intersect. Suppose that

AB=36,

AC=72,

and

\angle B=90^\circ.

Then the area of the set of all fold points of

\triangle ABC

can be written in the form

q\pi-r\sqrt s,

where

q,

r,

and

s

are positive integers and

s

is not divisible by the square of any prime. What is

q+r+s?

Respuesta

Respuesta: 597

Conceptos:plegado de papel mediatriz descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 2840

Pista pequeña:

Dos pliegues se cortan en el circuncentro del triángulo formado por

P

y los dos vértices correspondientes

Two fold creases meet at the circumcenter of the triangle formed by

P

and the corresponding two vertices

Pista grande:

El lugar geométrico de los puntos de plegado es la intersección de los discos con diámetros

AB

y

BC

The fold-point locus is the intersection of the disks with diameters

AB

and

BC

Solución:

Los pliegues correspondientes a dos vértices se cortan en el circuncentro del triángulo formado con

P.

Esta intersección queda fuera del papel exactamente cuando el ángulo en

P

es obtuso, de modo que el lugar de los puntos de plegado es la intersección de los tres discos de diámetros

AB,

BC,

y

CA.

El disco de diámetro

CA

contiene todo el triángulo rectángulo, por lo que queda la intersección de los discos de diámetros

AB

y

BC

.

Aquí

BC=\sqrt{72^2-36^2}=36\sqrt3.

Los dos radios relevantes son

18

y

18\sqrt3,

y su lente consta de segmentos circulares con ángulos centrales

120^\circ

y

60^\circ.

Su área es

\begin{aligned}&\left(\frac\pi3\cdot18^2\right.\\&\qquad\left.-\frac12\cdot18^2\sin120^\circ\right)\\&+\left(\frac\pi6(18\sqrt3)^2\right.\\&\qquad\left.-\frac12(18\sqrt3)^2\sin60^\circ\right)\\&=270\pi-324\sqrt3.\end{aligned}

Por tanto,

q+r+s

es igual a

270+324+3=597.

The creases for two vertices meet at the circumcenter of the triangle formed with

P.

This intersection lies off the paper exactly when the angle at

P

is obtuse, so the fold-point locus is the intersection of the three diameter disks for

AB,

BC,

and

CA.

The

CA

disk contains the entire right triangle, leaving the intersection of the

AB

and

BC

disks.

Here

BC=\sqrt{72^2-36^2}=36\sqrt3.

The two relevant radii are

18

and

18\sqrt3,

and their lens consists of circular segments with central angles

120^\circ

and

60^\circ.

Its area is

\begin{aligned}&\left(\frac\pi3\cdot18^2\right.\\&\qquad\left.-\frac12\cdot18^2\sin120^\circ\right)\\&+\left(\frac\pi6(18\sqrt3)^2\right.\\&\qquad\left.-\frac12(18\sqrt3)^2\sin60^\circ\right)\\&=270\pi-324\sqrt3.\end{aligned}

Thus

q+r+s

equals

270+324+3=597.

1994 AIME Problema 15

Respuesta: 597

Nivel de dificultad: 2840

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 15 en otros años