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1987 AIME Problema 15

Intenta el Problema 15 del 1987 AIME a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1987 AIME, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

15.

Como se muestra, los cuadrados S1,S_1, S2S_2 están inscritos en el triángulo rectángulo ABCABC. Halla AC+CBAC+CB si area⁡(S1)=441\operatorname{area}(S_1)=441 y area⁡(S2)=440.\operatorname{area}(S_2)=440.
Squares S1,S_1, S2S_2 are inscribed in right triangle ABCABC as shown. Find AC+CBAC+CB if area⁡(S1)=441\operatorname{area}(S_1)=441 and area⁡(S2)=440.\operatorname{area}(S_2)=440.
Respuesta: 462
Conceptos:triángulo rectángulosemejanzacuadrado (geometría)
Nivel de dificultad: 2450
Pista pequeña:
Sean aa y bb los catetos y usa el primer cuadrado para relacionar abab con a+ba+b
Let the legs be aa and bb and use the first square to relate abab to a+ba+b
Pista grande:
Para el segundo cuadrado, usa la altura a la hipotenusa y secciones transversales semejantes
For the second square, use the altitude to the hypotenuse and similar cross-sections
Solución:
Sean p=a+bp=a+b y q=ab,q=ab, y sea cc la hipotenusa. Como S1S_1 tiene lado 21,21, la relación estándar para el cuadrado alineado con los catetos da 21=aba+b,21=\frac{ab}{a+b}, así que q=21p.q=21p. Por tanto, c2=p2−2q=p(p−42).c^2=p^2-2q=p(p-42).
La altura a la hipotenusa es h=qc.h=\frac{q}{c}. Si el lado de S2S_2 es t,t, la semejanza da t=chc+h.t=\frac{ch}{c+h}. Al sustituir, esto se simplifica a t=21cp−21.t=\frac{21c}{p-21}. Por tanto, 440=441p(p−42)(p−21)2.440=\frac{441p(p-42)}{(p-21)^2}. Como p(p−42)=(p−21)2−441,p(p-42)=(p-21)^2-441, esto se convierte en 440=441(1−441(p−21)2).440=441\left(1-\frac{441}{(p-21)^2}\right). Así, (p−21)2=4412,(p-21)^2=441^2, y p>42p>42 da p=462.p=462.
Put p=a+b,p=a+b, q=ab,q=ab, and let the hypotenuse be c.c. Since S1S_1 has side 21,21, the standard leg-aligned-square relation gives 21=aba+b,21=\frac{ab}{a+b}, so q=21p.q=21p. Hence c2=p2−2q=p(p−42).c^2=p^2-2q=p(p-42).
The altitude to the hypotenuse is h=qc.h=\frac{q}{c}. If the side of S2S_2 is t,t, similarity gives t=chc+h.t=\frac{ch}{c+h}. Substitution simplifies this to t=21cp−21.t=\frac{21c}{p-21}. Therefore 440=441p(p−42)(p−21)2.440=\frac{441p(p-42)}{(p-21)^2}. Since p(p−42)=(p−21)2−441,p(p-42)=(p-21)^2-441, this becomes 440=441(1−441(p−21)2).440=441\left(1-\frac{441}{(p-21)^2}\right). Thus (p−21)2=4412,(p-21)^2=441^2, and p>42p>42 gives p=462.p=462.
Problema 14#14
Examen completo

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